Решете 9x^2+7x+9=25

$$9 x ^ { 2 } + 7 x + 9 = 25$$

Реши за x

$$x = -\frac{16}{9} = -1\frac{7}{9} \approx -1,777777778$$

$$x=1$$

Чекори за употреба на факторирање со групирање

Одземете 25 од двете страни.

$$9x^{2}+7x+9-25=0$$

Одземете 25 од 9 за да добиете -16.

$$9x^{2}+7x-16=0$$

За да ја решите равенката, факторирајте ја левата страна со групирање. Прво, левата страна треба да се препише како 9x^{2}+ax+bx-16. За да ги најдете a и b, поставете систем за решавање.

$$a+b=7 ab=9\left(-16\right)=-144$$

Бидејќи ab е негативно, a и b имаат спротивни знаци. Бидејќи a+b е позитивно, позитивниот број има поголема апсолутна вредност од негативниот. Наведете ги сите парови цели броеви што даваат производ -144.

$$-1,144 -2,72 -3,48 -4,36 -6,24 -8,18 -9,16 -12,12$$

Пресметајте го збирот за секој пар.

$$-1+144=143 -2+72=70 -3+48=45 -4+36=32 -6+24=18 -8+18=10 -9+16=7 -12+12=0$$

Решението е парот што дава збир 7.

$$a=-9 b=16$$

Препиши го 9x^{2}+7x-16 како \left(9x^{2}-9x\right)+\left(16x-16\right).

$$\left(9x^{2}-9x\right)+\left(16x-16\right)$$

Исклучете го факторот 9x во првата група и 16 во втората група.

$$9x\left(x-1\right)+16\left(x-1\right)$$

Факторирај го заедничкиот термин x-1 со помош на дистрибутивно својство.

$$\left(x-1\right)\left(9x+16\right)$$

За да најдете решенија за равенката, решете ги x-1=0 и 9x+16=0.

$$x=1 x=-\frac{16}{9}$$

Чекори за користење на формулата за квадратна равенка

Сите равенки што ја имаат формата ax^{2}+bx+c=0 може да се решат со формулата за квадратна равенка: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Формулата за квадратна равенка дава две решенија, едно кога ± е собирање, а друго кога е одземање.

$$9x^{2}+7x+9=25$$

Одземање на 25 од двете страни на равенката.

$$9x^{2}+7x+9-25=25-25$$

Ако одземете 25 од истиот број, ќе остане 0.

$$9x^{2}+7x+9-25=0$$

Одземање на 25 од 9.

$$9x^{2}+7x-16=0$$

Оваа равенка е во стандардна форма: ax^{2}+bx+c=0. Ставете 9 за a, 7 за b и -16 за c во формулата за квадратна равенка \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-7±\sqrt{7^{2}-4\times 9\left(-16\right)}}{2\times 9}$$

Квадрат од 7.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-4\times 9\left(-16\right)}}{2\times 9}$$

Множење на -4 со 9.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-36\left(-16\right)}}{2\times 9}$$

Множење на -36 со -16.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49+576}}{2\times 9}$$

Собирање на 49 и 576.

$$x=\frac{-7±\sqrt{625}}{2\times 9}$$

Вадење квадратен корен од 625.

$$x=\frac{-7±25}{2\times 9}$$

Множење на 2 со 9.

$$x=\frac{-7±25}{18}$$

Сега решете ја равенката x=\frac{-7±25}{18} кога ± ќе биде плус. Собирање на -7 и 25.

$$x=\frac{18}{18}$$

Делење на 18 со 18.

$$x=1$$

Сега решете ја равенката x=\frac{-7±25}{18} кога ± ќе биде минус. Одземање на 25 од -7.

$$x=-\frac{32}{18}$$

Намалете ја дропката \frac{-32}{18} до најниските услови со извлекување и откажување на 2.

$$x=-\frac{16}{9}$$

Равенката сега е решена.

$$x=1 x=-\frac{16}{9}$$

Чекори за пополнување на квадратот

Квадратните равенки како оваа може да се решат со пополнување на квадратот. За да го пополните, равенката прво мора да биде во формата x^{2}+bx=c.

$$9x^{2}+7x+9=25$$

Одземање на 9 од двете страни на равенката.

$$9x^{2}+7x+9-9=25-9$$

Ако одземете 9 од истиот број, ќе остане 0.

$$9x^{2}+7x=25-9$$

Одземање на 9 од 25.

$$9x^{2}+7x=16$$

Поделете ги двете страни со 9.

$$\frac{9x^{2}+7x}{9}=\frac{16}{9}$$

Ако поделите со 9, ќе се врати множењето со 9.

$$x^{2}+\frac{7}{9}x=\frac{16}{9}$$

Поделете го \frac{7}{9}, коефициентот на членот x, со 2 за да добиете \frac{7}{18}. Потоа додајте го квадратот од \frac{7}{18} на двете страни од равенката. Овој чекор ќе ја направи левата страна на равенката совршен квадрат.

$$x^{2}+\frac{7}{9}x+\left(\frac{7}{18}\right)^{2}=\frac{16}{9}+\left(\frac{7}{18}\right)^{2}$$

Кренете \frac{7}{18} на квадрат со кревање и на броителот и на именителот на дропката на квадрат.

$$x^{2}+\frac{7}{9}x+\frac{49}{324}=\frac{16}{9}+\frac{49}{324}$$

Соберете ги \frac{16}{9} и \frac{49}{324} со наоѓање на заедничкиот именител и собирање на броителите. Потоа намалете ја дропката на најмалите членови ако е можно.

$$x^{2}+\frac{7}{9}x+\frac{49}{324}=\frac{625}{324}$$

Фактор x^{2}+\frac{7}{9}x+\frac{49}{324}. Генерално, кога x^{2}+bx+c е совршен квадрат, може секогаш да се факторира како \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{7}{18}\right)^{2}=\frac{625}{324}$$

Извадете квадратен корен од двете страни на равенката.

$$\sqrt{\left(x+\frac{7}{18}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{625}{324}}$$

Поедноставување.

$$x+\frac{7}{18}=\frac{25}{18} x+\frac{7}{18}=-\frac{25}{18}$$

Одземање на \frac{7}{18} од двете страни на равенката.

$$x=1 x=-\frac{16}{9}$$