Решете 9x^2+21x-8=0

$$9 x ^ { 2 } + 21 x - 8 = 0$$

Реши за x

$$x = -\frac{8}{3} = -2\frac{2}{3} \approx -2,666666667$$

$$x=\frac{1}{3}\approx 0,333333333$$

Чекори за употреба на факторирање со групирање

За да ја решите равенката, факторирајте ја левата страна со групирање. Прво, левата страна треба да се препише како 9x^{2}+ax+bx-8. За да ги најдете a и b, поставете систем за решавање.

$$a+b=21 ab=9\left(-8\right)=-72$$

Бидејќи ab е негативно, a и b имаат спротивни знаци. Бидејќи a+b е позитивно, позитивниот број има поголема апсолутна вредност од негативниот. Наведете ги сите парови цели броеви што даваат производ -72.

$$-1,72 -2,36 -3,24 -4,18 -6,12 -8,9$$

Пресметајте го збирот за секој пар.

$$-1+72=71 -2+36=34 -3+24=21 -4+18=14 -6+12=6 -8+9=1$$

Решението е парот што дава збир 21.

$$a=-3 b=24$$

Препиши го 9x^{2}+21x-8 како \left(9x^{2}-3x\right)+\left(24x-8\right).

$$\left(9x^{2}-3x\right)+\left(24x-8\right)$$

Исклучете го факторот 3x во првата група и 8 во втората група.

$$3x\left(3x-1\right)+8\left(3x-1\right)$$

Факторирај го заедничкиот термин 3x-1 со помош на дистрибутивно својство.

$$\left(3x-1\right)\left(3x+8\right)$$

За да најдете решенија за равенката, решете ги 3x-1=0 и 3x+8=0.

$$x=\frac{1}{3} x=-\frac{8}{3}$$

Чекори за користење на формулата за квадратна равенка

Сите равенки што ја имаат формата ax^{2}+bx+c=0 може да се решат со формулата за квадратна равенка: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Формулата за квадратна равенка дава две решенија, едно кога ± е собирање, а друго кога е одземање.

$$9x^{2}+21x-8=0$$

Оваа равенка е во стандардна форма: ax^{2}+bx+c=0. Ставете 9 за a, 21 за b и -8 за c во формулата за квадратна равенка \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-21±\sqrt{21^{2}-4\times 9\left(-8\right)}}{2\times 9}$$

Квадрат од 21.

$$x=\frac{-21±\sqrt{441-4\times 9\left(-8\right)}}{2\times 9}$$

Множење на -4 со 9.

$$x=\frac{-21±\sqrt{441-36\left(-8\right)}}{2\times 9}$$

Множење на -36 со -8.

$$x=\frac{-21±\sqrt{441+288}}{2\times 9}$$

Собирање на 441 и 288.

$$x=\frac{-21±\sqrt{729}}{2\times 9}$$

Вадење квадратен корен од 729.

$$x=\frac{-21±27}{2\times 9}$$

Множење на 2 со 9.

$$x=\frac{-21±27}{18}$$

Сега решете ја равенката x=\frac{-21±27}{18} кога ± ќе биде плус. Собирање на -21 и 27.

$$x=\frac{6}{18}$$

Намалете ја дропката \frac{6}{18} до најниските услови со извлекување и откажување на 6.

$$x=\frac{1}{3}$$

Сега решете ја равенката x=\frac{-21±27}{18} кога ± ќе биде минус. Одземање на 27 од -21.

$$x=-\frac{48}{18}$$

Намалете ја дропката \frac{-48}{18} до најниските услови со извлекување и откажување на 6.

$$x=-\frac{8}{3}$$

Равенката сега е решена.

$$x=\frac{1}{3} x=-\frac{8}{3}$$

Чекори за пополнување на квадратот

Квадратните равенки како оваа може да се решат со пополнување на квадратот. За да го пополните, равенката прво мора да биде во формата x^{2}+bx=c.

$$9x^{2}+21x-8=0$$

Додавање на 8 на двете страни на равенката.

$$9x^{2}+21x-8-\left(-8\right)=-\left(-8\right)$$

Ако одземете -8 од истиот број, ќе остане 0.

$$9x^{2}+21x=-\left(-8\right)$$

Одземање на -8 од 0.

$$9x^{2}+21x=8$$

Поделете ги двете страни со 9.

$$\frac{9x^{2}+21x}{9}=\frac{8}{9}$$

Ако поделите со 9, ќе се врати множењето со 9.

$$x^{2}+\frac{21}{9}x=\frac{8}{9}$$

Намалете ја дропката \frac{21}{9} до најниските услови со извлекување и откажување на 3.

$$x^{2}+\frac{7}{3}x=\frac{8}{9}$$

Поделете го \frac{7}{3}, коефициентот на членот x, со 2 за да добиете \frac{7}{6}. Потоа додајте го квадратот од \frac{7}{6} на двете страни од равенката. Овој чекор ќе ја направи левата страна на равенката совршен квадрат.

$$x^{2}+\frac{7}{3}x+\left(\frac{7}{6}\right)^{2}=\frac{8}{9}+\left(\frac{7}{6}\right)^{2}$$

Кренете \frac{7}{6} на квадрат со кревање и на броителот и на именителот на дропката на квадрат.

$$x^{2}+\frac{7}{3}x+\frac{49}{36}=\frac{8}{9}+\frac{49}{36}$$

Соберете ги \frac{8}{9} и \frac{49}{36} со наоѓање на заедничкиот именител и собирање на броителите. Потоа намалете ја дропката на најмалите членови ако е можно.

$$x^{2}+\frac{7}{3}x+\frac{49}{36}=\frac{9}{4}$$

Фактор x^{2}+\frac{7}{3}x+\frac{49}{36}. Генерално, кога x^{2}+bx+c е совршен квадрат, може секогаш да се факторира како \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{7}{6}\right)^{2}=\frac{9}{4}$$

Извадете квадратен корен од двете страни на равенката.

$$\sqrt{\left(x+\frac{7}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{4}}$$

Поедноставување.

$$x+\frac{7}{6}=\frac{3}{2} x+\frac{7}{6}=-\frac{3}{2}$$

Одземање на \frac{7}{6} од двете страни на равенката.

$$x=\frac{1}{3} x=-\frac{8}{3}$$