Решете 9n^2-23n+20=3n^2

$$9 n ^ { 2 } - 23 n + 20 = 3 n ^ { 2 }$$

Реши за n

$$n = \frac{4}{3} = 1\frac{1}{3} \approx 1,333333333$$

$$n = \frac{5}{2} = 2\frac{1}{2} = 2,5$$

Чекори за употреба на факторирање со групирање

Одземете 3n^{2} од двете страни.

$$9n^{2}-23n+20-3n^{2}=0$$

Комбинирајте 9n^{2} и -3n^{2} за да добиете 6n^{2}.

$$6n^{2}-23n+20=0$$

За да ја решите равенката, факторирајте ја левата страна со групирање. Прво, левата страна треба да се препише како 6n^{2}+an+bn+20. За да ги најдете a и b, поставете систем за решавање.

$$a+b=-23 ab=6\times 20=120$$

Бидејќи ab е позитивно, a и b го имаат истиот знак. Бидејќи a+b е негативно, и a и b се негативни. Наведете ги сите парови цели броеви што даваат производ 120.

$$-1,-120 -2,-60 -3,-40 -4,-30 -5,-24 -6,-20 -8,-15 -10,-12$$

Пресметајте го збирот за секој пар.

$$-1-120=-121 -2-60=-62 -3-40=-43 -4-30=-34 -5-24=-29 -6-20=-26 -8-15=-23 -10-12=-22$$

Решението е парот што дава збир -23.

$$a=-15 b=-8$$

Препиши го 6n^{2}-23n+20 како \left(6n^{2}-15n\right)+\left(-8n+20\right).

$$\left(6n^{2}-15n\right)+\left(-8n+20\right)$$

Исклучете го факторот 3n во првата група и -4 во втората група.

$$3n\left(2n-5\right)-4\left(2n-5\right)$$

Факторирај го заедничкиот термин 2n-5 со помош на дистрибутивно својство.

$$\left(2n-5\right)\left(3n-4\right)$$

За да најдете решенија за равенката, решете ги 2n-5=0 и 3n-4=0.

$$n=\frac{5}{2} n=\frac{4}{3}$$

Чекори за користење на формулата за квадратна равенка

Одземете 3n^{2} од двете страни.

$$9n^{2}-23n+20-3n^{2}=0$$

Комбинирајте 9n^{2} и -3n^{2} за да добиете 6n^{2}.

$$6n^{2}-23n+20=0$$

Оваа равенка е во стандардна форма: ax^{2}+bx+c=0. Ставете 6 за a, -23 за b и 20 за c во формулата за квадратна равенка \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$n=\frac{-\left(-23\right)±\sqrt{\left(-23\right)^{2}-4\times 6\times 20}}{2\times 6}$$

Квадрат од -23.

$$n=\frac{-\left(-23\right)±\sqrt{529-4\times 6\times 20}}{2\times 6}$$

Множење на -4 со 6.

$$n=\frac{-\left(-23\right)±\sqrt{529-24\times 20}}{2\times 6}$$

Множење на -24 со 20.

$$n=\frac{-\left(-23\right)±\sqrt{529-480}}{2\times 6}$$

Собирање на 529 и -480.

$$n=\frac{-\left(-23\right)±\sqrt{49}}{2\times 6}$$

Вадење квадратен корен од 49.

$$n=\frac{-\left(-23\right)±7}{2\times 6}$$

Спротивно на -23 е 23.

$$n=\frac{23±7}{2\times 6}$$

Множење на 2 со 6.

$$n=\frac{23±7}{12}$$

Сега решете ја равенката n=\frac{23±7}{12} кога ± ќе биде плус. Собирање на 23 и 7.

$$n=\frac{30}{12}$$

Намалете ја дропката \frac{30}{12} до најниските услови со извлекување и откажување на 6.

$$n=\frac{5}{2}$$

Сега решете ја равенката n=\frac{23±7}{12} кога ± ќе биде минус. Одземање на 7 од 23.

$$n=\frac{16}{12}$$

Намалете ја дропката \frac{16}{12} до најниските услови со извлекување и откажување на 4.

$$n=\frac{4}{3}$$

Равенката сега е решена.

$$n=\frac{5}{2} n=\frac{4}{3}$$

Чекори за пополнување на квадратот

Одземете 3n^{2} од двете страни.

$$9n^{2}-23n+20-3n^{2}=0$$

Комбинирајте 9n^{2} и -3n^{2} за да добиете 6n^{2}.

$$6n^{2}-23n+20=0$$

Одземете 20 од двете страни. Секој број одземен од нула ја дава својата негативна вредност.

$$6n^{2}-23n=-20$$

Поделете ги двете страни со 6.

$$\frac{6n^{2}-23n}{6}=-\frac{20}{6}$$

Ако поделите со 6, ќе се врати множењето со 6.

$$n^{2}-\frac{23}{6}n=-\frac{20}{6}$$

Намалете ја дропката \frac{-20}{6} до најниските услови со извлекување и откажување на 2.

$$n^{2}-\frac{23}{6}n=-\frac{10}{3}$$

Поделете го -\frac{23}{6}, коефициентот на членот x, со 2 за да добиете -\frac{23}{12}. Потоа додајте го квадратот од -\frac{23}{12} на двете страни од равенката. Овој чекор ќе ја направи левата страна на равенката совршен квадрат.

$$n^{2}-\frac{23}{6}n+\left(-\frac{23}{12}\right)^{2}=-\frac{10}{3}+\left(-\frac{23}{12}\right)^{2}$$

Кренете -\frac{23}{12} на квадрат со кревање и на броителот и на именителот на дропката на квадрат.

$$n^{2}-\frac{23}{6}n+\frac{529}{144}=-\frac{10}{3}+\frac{529}{144}$$

Соберете ги -\frac{10}{3} и \frac{529}{144} со наоѓање на заедничкиот именител и собирање на броителите. Потоа намалете ја дропката на најмалите членови ако е можно.

$$n^{2}-\frac{23}{6}n+\frac{529}{144}=\frac{49}{144}$$

Фактор n^{2}-\frac{23}{6}n+\frac{529}{144}. Генерално, кога x^{2}+bx+c е совршен квадрат, може секогаш да се факторира како \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(n-\frac{23}{12}\right)^{2}=\frac{49}{144}$$

Извадете квадратен корен од двете страни на равенката.

$$\sqrt{\left(n-\frac{23}{12}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{144}}$$

Поедноставување.

$$n-\frac{23}{12}=\frac{7}{12} n-\frac{23}{12}=-\frac{7}{12}$$

Додавање на \frac{23}{12} на двете страни на равенката.

$$n=\frac{5}{2} n=\frac{4}{3}$$