Решете 9x^2-12x+4=0

$$9 { x }^{ 2 } -12x+4=0$$

Реши за x

$$x=\frac{2}{3}\approx 0,666666667$$

Чекори за употреба на факторирање со групирање

За да ја решите равенката, факторирајте ја левата страна со групирање. Прво, левата страна треба да се препише како 9x^{2}+ax+bx+4. За да ги најдете a и b, поставете систем за решавање.

$$a+b=-12 ab=9\times 4=36$$

Бидејќи ab е позитивно, a и b го имаат истиот знак. Бидејќи a+b е негативно, и a и b се негативни. Наведете ги сите парови цели броеви што даваат производ 36.

$$-1,-36 -2,-18 -3,-12 -4,-9 -6,-6$$

Пресметајте го збирот за секој пар.

$$-1-36=-37 -2-18=-20 -3-12=-15 -4-9=-13 -6-6=-12$$

Решението е парот што дава збир -12.

$$a=-6 b=-6$$

Препиши го 9x^{2}-12x+4 како \left(9x^{2}-6x\right)+\left(-6x+4\right).

$$\left(9x^{2}-6x\right)+\left(-6x+4\right)$$

Исклучете го факторот 3x во првата група и -2 во втората група.

$$3x\left(3x-2\right)-2\left(3x-2\right)$$

Факторирај го заедничкиот термин 3x-2 со помош на дистрибутивно својство.

$$\left(3x-2\right)\left(3x-2\right)$$

Препишување како биномен квадрат.

$$\left(3x-2\right)^{2}$$

За да најдете решение за равенката, решете ја 3x-2=0.

$$x=\frac{2}{3}$$

Чекори за користење на формулата за квадратна равенка

Сите равенки што ја имаат формата ax^{2}+bx+c=0 може да се решат со формулата за квадратна равенка: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Формулата за квадратна равенка дава две решенија, едно кога ± е собирање, а друго кога е одземање.

$$9x^{2}-12x+4=0$$

Оваа равенка е во стандардна форма: ax^{2}+bx+c=0. Ставете 9 за a, -12 за b и 4 за c во формулата за квадратна равенка \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{\left(-12\right)^{2}-4\times 9\times 4}}{2\times 9}$$

Квадрат од -12.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-4\times 9\times 4}}{2\times 9}$$

Множење на -4 со 9.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-36\times 4}}{2\times 9}$$

Множење на -36 со 4.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-144}}{2\times 9}$$

Собирање на 144 и -144.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{0}}{2\times 9}$$

Вадење квадратен корен од 0.

$$x=-\frac{-12}{2\times 9}$$

Спротивно на -12 е 12.

$$x=\frac{12}{2\times 9}$$

Множење на 2 со 9.

$$x=\frac{12}{18}$$

Намалете ја дропката \frac{12}{18} до најниските услови со извлекување и откажување на 6.

$$x=\frac{2}{3}$$

Чекори за пополнување на квадратот

Квадратните равенки како оваа може да се решат со пополнување на квадратот. За да го пополните, равенката прво мора да биде во формата x^{2}+bx=c.

$$9x^{2}-12x+4=0$$

Одземање на 4 од двете страни на равенката.

$$9x^{2}-12x+4-4=-4$$

Ако одземете 4 од истиот број, ќе остане 0.

$$9x^{2}-12x=-4$$

Поделете ги двете страни со 9.

$$\frac{9x^{2}-12x}{9}=-\frac{4}{9}$$

Ако поделите со 9, ќе се врати множењето со 9.

$$x^{2}+\left(-\frac{12}{9}\right)x=-\frac{4}{9}$$

Намалете ја дропката \frac{-12}{9} до најниските услови со извлекување и откажување на 3.

$$x^{2}-\frac{4}{3}x=-\frac{4}{9}$$

Поделете го -\frac{4}{3}, коефициентот на членот x, со 2 за да добиете -\frac{2}{3}. Потоа додајте го квадратот од -\frac{2}{3} на двете страни од равенката. Овој чекор ќе ја направи левата страна на равенката совршен квадрат.

$$x^{2}-\frac{4}{3}x+\left(-\frac{2}{3}\right)^{2}=-\frac{4}{9}+\left(-\frac{2}{3}\right)^{2}$$

Кренете -\frac{2}{3} на квадрат со кревање и на броителот и на именителот на дропката на квадрат.

$$x^{2}-\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}=\frac{-4+4}{9}$$

Соберете ги -\frac{4}{9} и \frac{4}{9} со наоѓање на заедничкиот именител и собирање на броителите. Потоа намалете ја дропката на најмалите членови ако е можно.

$$x^{2}-\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}=0$$

Фактор x^{2}-\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}. Генерално, кога x^{2}+bx+c е совршен квадрат, може секогаш да се факторира како \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{2}{3}\right)^{2}=0$$

Извадете квадратен корен од двете страни на равенката.

$$\sqrt{\left(x-\frac{2}{3}\right)^{2}}=\sqrt{0}$$

Поедноставување.

$$x-\frac{2}{3}=0 x-\frac{2}{3}=0$$

Додавање на \frac{2}{3} на двете страни на равенката.

$$x=\frac{2}{3} x=\frac{2}{3}$$

Равенката сега е решена. Решенијата се исти.

$$x=\frac{2}{3}$$