Решете 8x^2-22x-21=0

$$8 x ^ { 2 } - 22 x - 21 = 0$$

Реши за x

$$x=-\frac{3}{4}=-0,75$$

$$x = \frac{7}{2} = 3\frac{1}{2} = 3,5$$

Чекори за употреба на факторирање со групирање

За да ја решите равенката, факторирајте ја левата страна со групирање. Прво, левата страна треба да се препише како 8x^{2}+ax+bx-21. За да ги најдете a и b, поставете систем за решавање.

$$a+b=-22 ab=8\left(-21\right)=-168$$

Бидејќи ab е негативно, a и b имаат спротивни знаци. Бидејќи a+b е негативно, негативниот број има поголема апсолутна вредност од позитивниот. Наведете ги сите парови цели броеви што даваат производ -168.

$$1,-168 2,-84 3,-56 4,-42 6,-28 7,-24 8,-21 12,-14$$

Пресметајте го збирот за секој пар.

$$1-168=-167 2-84=-82 3-56=-53 4-42=-38 6-28=-22 7-24=-17 8-21=-13 12-14=-2$$

Решението е парот што дава збир -22.

$$a=-28 b=6$$

Препиши го 8x^{2}-22x-21 како \left(8x^{2}-28x\right)+\left(6x-21\right).

$$\left(8x^{2}-28x\right)+\left(6x-21\right)$$

Исклучете го факторот 4x во првата група и 3 во втората група.

$$4x\left(2x-7\right)+3\left(2x-7\right)$$

Факторирај го заедничкиот термин 2x-7 со помош на дистрибутивно својство.

$$\left(2x-7\right)\left(4x+3\right)$$

За да најдете решенија за равенката, решете ги 2x-7=0 и 4x+3=0.

$$x=\frac{7}{2} x=-\frac{3}{4}$$

Чекори за користење на формулата за квадратна равенка

Сите равенки што ја имаат формата ax^{2}+bx+c=0 може да се решат со формулата за квадратна равенка: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Формулата за квадратна равенка дава две решенија, едно кога ± е собирање, а друго кога е одземање.

$$8x^{2}-22x-21=0$$

Оваа равенка е во стандардна форма: ax^{2}+bx+c=0. Ставете 8 за a, -22 за b и -21 за c во формулата за квадратна равенка \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-22\right)±\sqrt{\left(-22\right)^{2}-4\times 8\left(-21\right)}}{2\times 8}$$

Квадрат од -22.

$$x=\frac{-\left(-22\right)±\sqrt{484-4\times 8\left(-21\right)}}{2\times 8}$$

Множење на -4 со 8.

$$x=\frac{-\left(-22\right)±\sqrt{484-32\left(-21\right)}}{2\times 8}$$

Множење на -32 со -21.

$$x=\frac{-\left(-22\right)±\sqrt{484+672}}{2\times 8}$$

Собирање на 484 и 672.

$$x=\frac{-\left(-22\right)±\sqrt{1156}}{2\times 8}$$

Вадење квадратен корен од 1156.

$$x=\frac{-\left(-22\right)±34}{2\times 8}$$

Спротивно на -22 е 22.

$$x=\frac{22±34}{2\times 8}$$

Множење на 2 со 8.

$$x=\frac{22±34}{16}$$

Сега решете ја равенката x=\frac{22±34}{16} кога ± ќе биде плус. Собирање на 22 и 34.

$$x=\frac{56}{16}$$

Намалете ја дропката \frac{56}{16} до најниските услови со извлекување и откажување на 8.

$$x=\frac{7}{2}$$

Сега решете ја равенката x=\frac{22±34}{16} кога ± ќе биде минус. Одземање на 34 од 22.

$$x=-\frac{12}{16}$$

Намалете ја дропката \frac{-12}{16} до најниските услови со извлекување и откажување на 4.

$$x=-\frac{3}{4}$$

Равенката сега е решена.

$$x=\frac{7}{2} x=-\frac{3}{4}$$

Чекори за пополнување на квадратот

Квадратните равенки како оваа може да се решат со пополнување на квадратот. За да го пополните, равенката прво мора да биде во формата x^{2}+bx=c.

$$8x^{2}-22x-21=0$$

Додавање на 21 на двете страни на равенката.

$$8x^{2}-22x-21-\left(-21\right)=-\left(-21\right)$$

Ако одземете -21 од истиот број, ќе остане 0.

$$8x^{2}-22x=-\left(-21\right)$$

Одземање на -21 од 0.

$$8x^{2}-22x=21$$

Поделете ги двете страни со 8.

$$\frac{8x^{2}-22x}{8}=\frac{21}{8}$$

Ако поделите со 8, ќе се врати множењето со 8.

$$x^{2}+\left(-\frac{22}{8}\right)x=\frac{21}{8}$$

Намалете ја дропката \frac{-22}{8} до најниските услови со извлекување и откажување на 2.

$$x^{2}-\frac{11}{4}x=\frac{21}{8}$$

Поделете го -\frac{11}{4}, коефициентот на членот x, со 2 за да добиете -\frac{11}{8}. Потоа додајте го квадратот од -\frac{11}{8} на двете страни од равенката. Овој чекор ќе ја направи левата страна на равенката совршен квадрат.

$$x^{2}-\frac{11}{4}x+\left(-\frac{11}{8}\right)^{2}=\frac{21}{8}+\left(-\frac{11}{8}\right)^{2}$$

Кренете -\frac{11}{8} на квадрат со кревање и на броителот и на именителот на дропката на квадрат.

$$x^{2}-\frac{11}{4}x+\frac{121}{64}=\frac{21}{8}+\frac{121}{64}$$

Соберете ги \frac{21}{8} и \frac{121}{64} со наоѓање на заедничкиот именител и собирање на броителите. Потоа намалете ја дропката на најмалите членови ако е можно.

$$x^{2}-\frac{11}{4}x+\frac{121}{64}=\frac{289}{64}$$

Фактор x^{2}-\frac{11}{4}x+\frac{121}{64}. Генерално, кога x^{2}+bx+c е совршен квадрат, може секогаш да се факторира како \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{11}{8}\right)^{2}=\frac{289}{64}$$

Извадете квадратен корен од двете страни на равенката.

$$\sqrt{\left(x-\frac{11}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{289}{64}}$$

Поедноставување.

$$x-\frac{11}{8}=\frac{17}{8} x-\frac{11}{8}=-\frac{17}{8}$$

Додавање на \frac{11}{8} на двете страни на равенката.

$$x=\frac{7}{2} x=-\frac{3}{4}$$