Решете 8x^2-14x-15=0

$$8 x ^ { 2 } - 14 x - 15 = 0$$

Реши за x

$$x=-\frac{3}{4}=-0,75$$

$$x = \frac{5}{2} = 2\frac{1}{2} = 2,5$$

Чекори за употреба на факторирање со групирање

За да ја решите равенката, факторирајте ја левата страна со групирање. Прво, левата страна треба да се препише како 8x^{2}+ax+bx-15. За да ги најдете a и b, поставете систем за решавање.

$$a+b=-14 ab=8\left(-15\right)=-120$$

Бидејќи ab е негативно, a и b имаат спротивни знаци. Бидејќи a+b е негативно, негативниот број има поголема апсолутна вредност од позитивниот. Наведете ги сите парови цели броеви што даваат производ -120.

$$1,-120 2,-60 3,-40 4,-30 5,-24 6,-20 8,-15 10,-12$$

Пресметајте го збирот за секој пар.

$$1-120=-119 2-60=-58 3-40=-37 4-30=-26 5-24=-19 6-20=-14 8-15=-7 10-12=-2$$

Решението е парот што дава збир -14.

$$a=-20 b=6$$

Препиши го 8x^{2}-14x-15 како \left(8x^{2}-20x\right)+\left(6x-15\right).

$$\left(8x^{2}-20x\right)+\left(6x-15\right)$$

Исклучете го факторот 4x во првата група и 3 во втората група.

$$4x\left(2x-5\right)+3\left(2x-5\right)$$

Факторирај го заедничкиот термин 2x-5 со помош на дистрибутивно својство.

$$\left(2x-5\right)\left(4x+3\right)$$

За да најдете решенија за равенката, решете ги 2x-5=0 и 4x+3=0.

$$x=\frac{5}{2} x=-\frac{3}{4}$$

Чекори за користење на формулата за квадратна равенка

Сите равенки што ја имаат формата ax^{2}+bx+c=0 може да се решат со формулата за квадратна равенка: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Формулата за квадратна равенка дава две решенија, едно кога ± е собирање, а друго кога е одземање.

$$8x^{2}-14x-15=0$$

Оваа равенка е во стандардна форма: ax^{2}+bx+c=0. Ставете 8 за a, -14 за b и -15 за c во формулата за квадратна равенка \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{\left(-14\right)^{2}-4\times 8\left(-15\right)}}{2\times 8}$$

Квадрат од -14.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-4\times 8\left(-15\right)}}{2\times 8}$$

Множење на -4 со 8.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-32\left(-15\right)}}{2\times 8}$$

Множење на -32 со -15.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196+480}}{2\times 8}$$

Собирање на 196 и 480.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{676}}{2\times 8}$$

Вадење квадратен корен од 676.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±26}{2\times 8}$$

Спротивно на -14 е 14.

$$x=\frac{14±26}{2\times 8}$$

Множење на 2 со 8.

$$x=\frac{14±26}{16}$$

Сега решете ја равенката x=\frac{14±26}{16} кога ± ќе биде плус. Собирање на 14 и 26.

$$x=\frac{40}{16}$$

Намалете ја дропката \frac{40}{16} до најниските услови со извлекување и откажување на 8.

$$x=\frac{5}{2}$$

Сега решете ја равенката x=\frac{14±26}{16} кога ± ќе биде минус. Одземање на 26 од 14.

$$x=-\frac{12}{16}$$

Намалете ја дропката \frac{-12}{16} до најниските услови со извлекување и откажување на 4.

$$x=-\frac{3}{4}$$

Равенката сега е решена.

$$x=\frac{5}{2} x=-\frac{3}{4}$$

Чекори за пополнување на квадратот

Квадратните равенки како оваа може да се решат со пополнување на квадратот. За да го пополните, равенката прво мора да биде во формата x^{2}+bx=c.

$$8x^{2}-14x-15=0$$

Додавање на 15 на двете страни на равенката.

$$8x^{2}-14x-15-\left(-15\right)=-\left(-15\right)$$

Ако одземете -15 од истиот број, ќе остане 0.

$$8x^{2}-14x=-\left(-15\right)$$

Одземање на -15 од 0.

$$8x^{2}-14x=15$$

Поделете ги двете страни со 8.

$$\frac{8x^{2}-14x}{8}=\frac{15}{8}$$

Ако поделите со 8, ќе се врати множењето со 8.

$$x^{2}+\left(-\frac{14}{8}\right)x=\frac{15}{8}$$

Намалете ја дропката \frac{-14}{8} до најниските услови со извлекување и откажување на 2.

$$x^{2}-\frac{7}{4}x=\frac{15}{8}$$

Поделете го -\frac{7}{4}, коефициентот на членот x, со 2 за да добиете -\frac{7}{8}. Потоа додајте го квадратот од -\frac{7}{8} на двете страни од равенката. Овој чекор ќе ја направи левата страна на равенката совршен квадрат.

$$x^{2}-\frac{7}{4}x+\left(-\frac{7}{8}\right)^{2}=\frac{15}{8}+\left(-\frac{7}{8}\right)^{2}$$

Кренете -\frac{7}{8} на квадрат со кревање и на броителот и на именителот на дропката на квадрат.

$$x^{2}-\frac{7}{4}x+\frac{49}{64}=\frac{15}{8}+\frac{49}{64}$$

Соберете ги \frac{15}{8} и \frac{49}{64} со наоѓање на заедничкиот именител и собирање на броителите. Потоа намалете ја дропката на најмалите членови ако е можно.

$$x^{2}-\frac{7}{4}x+\frac{49}{64}=\frac{169}{64}$$

Фактор x^{2}-\frac{7}{4}x+\frac{49}{64}. Генерално, кога x^{2}+bx+c е совршен квадрат, може секогаш да се факторира како \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{7}{8}\right)^{2}=\frac{169}{64}$$

Извадете квадратен корен од двете страни на равенката.

$$\sqrt{\left(x-\frac{7}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{64}}$$

Поедноставување.

$$x-\frac{7}{8}=\frac{13}{8} x-\frac{7}{8}=-\frac{13}{8}$$

Додавање на \frac{7}{8} на двете страни на равенката.

$$x=\frac{5}{2} x=-\frac{3}{4}$$