Решете 8x^2+10x-7=0

$$8 x ^ { 2 } + 10 x - 7 = 0$$

Реши за x

$$x = -\frac{7}{4} = -1\frac{3}{4} = -1,75$$

$$x=\frac{1}{2}=0,5$$

Чекори за употреба на факторирање со групирање

За да ја решите равенката, факторирајте ја левата страна со групирање. Прво, левата страна треба да се препише како 8x^{2}+ax+bx-7. За да ги најдете a и b, поставете систем за решавање.

$$a+b=10 ab=8\left(-7\right)=-56$$

Бидејќи ab е негативно, a и b имаат спротивни знаци. Бидејќи a+b е позитивно, позитивниот број има поголема апсолутна вредност од негативниот. Наведете ги сите парови цели броеви што даваат производ -56.

$$-1,56 -2,28 -4,14 -7,8$$

Пресметајте го збирот за секој пар.

$$-1+56=55 -2+28=26 -4+14=10 -7+8=1$$

Решението е парот што дава збир 10.

$$a=-4 b=14$$

Препиши го 8x^{2}+10x-7 како \left(8x^{2}-4x\right)+\left(14x-7\right).

$$\left(8x^{2}-4x\right)+\left(14x-7\right)$$

Исклучете го факторот 4x во првата група и 7 во втората група.

$$4x\left(2x-1\right)+7\left(2x-1\right)$$

Факторирај го заедничкиот термин 2x-1 со помош на дистрибутивно својство.

$$\left(2x-1\right)\left(4x+7\right)$$

За да најдете решенија за равенката, решете ги 2x-1=0 и 4x+7=0.

$$x=\frac{1}{2} x=-\frac{7}{4}$$

Чекори за користење на формулата за квадратна равенка

Сите равенки што ја имаат формата ax^{2}+bx+c=0 може да се решат со формулата за квадратна равенка: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Формулата за квадратна равенка дава две решенија, едно кога ± е собирање, а друго кога е одземање.

$$8x^{2}+10x-7=0$$

Оваа равенка е во стандардна форма: ax^{2}+bx+c=0. Ставете 8 за a, 10 за b и -7 за c во формулата за квадратна равенка \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-10±\sqrt{10^{2}-4\times 8\left(-7\right)}}{2\times 8}$$

Квадрат од 10.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100-4\times 8\left(-7\right)}}{2\times 8}$$

Множење на -4 со 8.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100-32\left(-7\right)}}{2\times 8}$$

Множење на -32 со -7.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100+224}}{2\times 8}$$

Собирање на 100 и 224.

$$x=\frac{-10±\sqrt{324}}{2\times 8}$$

Вадење квадратен корен од 324.

$$x=\frac{-10±18}{2\times 8}$$

Множење на 2 со 8.

$$x=\frac{-10±18}{16}$$

Сега решете ја равенката x=\frac{-10±18}{16} кога ± ќе биде плус. Собирање на -10 и 18.

$$x=\frac{8}{16}$$

Намалете ја дропката \frac{8}{16} до најниските услови со извлекување и откажување на 8.

$$x=\frac{1}{2}$$

Сега решете ја равенката x=\frac{-10±18}{16} кога ± ќе биде минус. Одземање на 18 од -10.

$$x=-\frac{28}{16}$$

Намалете ја дропката \frac{-28}{16} до најниските услови со извлекување и откажување на 4.

$$x=-\frac{7}{4}$$

Равенката сега е решена.

$$x=\frac{1}{2} x=-\frac{7}{4}$$

Чекори за пополнување на квадратот

Квадратните равенки како оваа може да се решат со пополнување на квадратот. За да го пополните, равенката прво мора да биде во формата x^{2}+bx=c.

$$8x^{2}+10x-7=0$$

Додавање на 7 на двете страни на равенката.

$$8x^{2}+10x-7-\left(-7\right)=-\left(-7\right)$$

Ако одземете -7 од истиот број, ќе остане 0.

$$8x^{2}+10x=-\left(-7\right)$$

Одземање на -7 од 0.

$$8x^{2}+10x=7$$

Поделете ги двете страни со 8.

$$\frac{8x^{2}+10x}{8}=\frac{7}{8}$$

Ако поделите со 8, ќе се врати множењето со 8.

$$x^{2}+\frac{10}{8}x=\frac{7}{8}$$

Намалете ја дропката \frac{10}{8} до најниските услови со извлекување и откажување на 2.

$$x^{2}+\frac{5}{4}x=\frac{7}{8}$$

Поделете го \frac{5}{4}, коефициентот на членот x, со 2 за да добиете \frac{5}{8}. Потоа додајте го квадратот од \frac{5}{8} на двете страни од равенката. Овој чекор ќе ја направи левата страна на равенката совршен квадрат.

$$x^{2}+\frac{5}{4}x+\left(\frac{5}{8}\right)^{2}=\frac{7}{8}+\left(\frac{5}{8}\right)^{2}$$

Кренете \frac{5}{8} на квадрат со кревање и на броителот и на именителот на дропката на квадрат.

$$x^{2}+\frac{5}{4}x+\frac{25}{64}=\frac{7}{8}+\frac{25}{64}$$

Соберете ги \frac{7}{8} и \frac{25}{64} со наоѓање на заедничкиот именител и собирање на броителите. Потоа намалете ја дропката на најмалите членови ако е можно.

$$x^{2}+\frac{5}{4}x+\frac{25}{64}=\frac{81}{64}$$

Фактор x^{2}+\frac{5}{4}x+\frac{25}{64}. Генерално, кога x^{2}+bx+c е совршен квадрат, може секогаш да се факторира како \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{5}{8}\right)^{2}=\frac{81}{64}$$

Извадете квадратен корен од двете страни на равенката.

$$\sqrt{\left(x+\frac{5}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{81}{64}}$$

Поедноставување.

$$x+\frac{5}{8}=\frac{9}{8} x+\frac{5}{8}=-\frac{9}{8}$$

Одземање на \frac{5}{8} од двете страни на равенката.

$$x=\frac{1}{2} x=-\frac{7}{4}$$