Решете 75x^2+35x-10=0

$$75 x ^ { 2 } + 35 x - 10 = 0$$

Реши за x

$$x=-\frac{2}{3}\approx -0,666666667$$

$$x=\frac{1}{5}=0,2$$

Чекори за употреба на факторирање со групирање

Поделете ги двете страни со 5.

$$15x^{2}+7x-2=0$$

За да ја решите равенката, факторирајте ја левата страна со групирање. Прво, левата страна треба да се препише како 15x^{2}+ax+bx-2. За да ги најдете a и b, поставете систем за решавање.

$$a+b=7 ab=15\left(-2\right)=-30$$

Бидејќи ab е негативно, a и b имаат спротивни знаци. Бидејќи a+b е позитивно, позитивниот број има поголема апсолутна вредност од негативниот. Наведете ги сите парови цели броеви што даваат производ -30.

$$-1,30 -2,15 -3,10 -5,6$$

Пресметајте го збирот за секој пар.

$$-1+30=29 -2+15=13 -3+10=7 -5+6=1$$

Решението е парот што дава збир 7.

$$a=-3 b=10$$

Препиши го 15x^{2}+7x-2 како \left(15x^{2}-3x\right)+\left(10x-2\right).

$$\left(15x^{2}-3x\right)+\left(10x-2\right)$$

Исклучете го факторот 3x во првата група и 2 во втората група.

$$3x\left(5x-1\right)+2\left(5x-1\right)$$

Факторирај го заедничкиот термин 5x-1 со помош на дистрибутивно својство.

$$\left(5x-1\right)\left(3x+2\right)$$

За да најдете решенија за равенката, решете ги 5x-1=0 и 3x+2=0.

$$x=\frac{1}{5} x=-\frac{2}{3}$$

Чекори за користење на формулата за квадратна равенка

Сите равенки што ја имаат формата ax^{2}+bx+c=0 може да се решат со формулата за квадратна равенка: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Формулата за квадратна равенка дава две решенија, едно кога ± е собирање, а друго кога е одземање.

$$75x^{2}+35x-10=0$$

Оваа равенка е во стандардна форма: ax^{2}+bx+c=0. Ставете 75 за a, 35 за b и -10 за c во формулата за квадратна равенка \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-35±\sqrt{35^{2}-4\times 75\left(-10\right)}}{2\times 75}$$

Квадрат од 35.

$$x=\frac{-35±\sqrt{1225-4\times 75\left(-10\right)}}{2\times 75}$$

Множење на -4 со 75.

$$x=\frac{-35±\sqrt{1225-300\left(-10\right)}}{2\times 75}$$

Множење на -300 со -10.

$$x=\frac{-35±\sqrt{1225+3000}}{2\times 75}$$

Собирање на 1225 и 3000.

$$x=\frac{-35±\sqrt{4225}}{2\times 75}$$

Вадење квадратен корен од 4225.

$$x=\frac{-35±65}{2\times 75}$$

Множење на 2 со 75.

$$x=\frac{-35±65}{150}$$

Сега решете ја равенката x=\frac{-35±65}{150} кога ± ќе биде плус. Собирање на -35 и 65.

$$x=\frac{30}{150}$$

Намалете ја дропката \frac{30}{150} до најниските услови со извлекување и откажување на 30.

$$x=\frac{1}{5}$$

Сега решете ја равенката x=\frac{-35±65}{150} кога ± ќе биде минус. Одземање на 65 од -35.

$$x=-\frac{100}{150}$$

Намалете ја дропката \frac{-100}{150} до најниските услови со извлекување и откажување на 50.

$$x=-\frac{2}{3}$$

Равенката сега е решена.

$$x=\frac{1}{5} x=-\frac{2}{3}$$

Чекори за пополнување на квадратот

Квадратните равенки како оваа може да се решат со пополнување на квадратот. За да го пополните, равенката прво мора да биде во формата x^{2}+bx=c.

$$75x^{2}+35x-10=0$$

Додавање на 10 на двете страни на равенката.

$$75x^{2}+35x-10-\left(-10\right)=-\left(-10\right)$$

Ако одземете -10 од истиот број, ќе остане 0.

$$75x^{2}+35x=-\left(-10\right)$$

Одземање на -10 од 0.

$$75x^{2}+35x=10$$

Поделете ги двете страни со 75.

$$\frac{75x^{2}+35x}{75}=\frac{10}{75}$$

Ако поделите со 75, ќе се врати множењето со 75.

$$x^{2}+\frac{35}{75}x=\frac{10}{75}$$

Намалете ја дропката \frac{35}{75} до најниските услови со извлекување и откажување на 5.

$$x^{2}+\frac{7}{15}x=\frac{10}{75}$$

Намалете ја дропката \frac{10}{75} до најниските услови со извлекување и откажување на 5.

$$x^{2}+\frac{7}{15}x=\frac{2}{15}$$

Поделете го \frac{7}{15}, коефициентот на членот x, со 2 за да добиете \frac{7}{30}. Потоа додајте го квадратот од \frac{7}{30} на двете страни од равенката. Овој чекор ќе ја направи левата страна на равенката совршен квадрат.

$$x^{2}+\frac{7}{15}x+\left(\frac{7}{30}\right)^{2}=\frac{2}{15}+\left(\frac{7}{30}\right)^{2}$$

Кренете \frac{7}{30} на квадрат со кревање и на броителот и на именителот на дропката на квадрат.

$$x^{2}+\frac{7}{15}x+\frac{49}{900}=\frac{2}{15}+\frac{49}{900}$$

Соберете ги \frac{2}{15} и \frac{49}{900} со наоѓање на заедничкиот именител и собирање на броителите. Потоа намалете ја дропката на најмалите членови ако е можно.

$$x^{2}+\frac{7}{15}x+\frac{49}{900}=\frac{169}{900}$$

Фактор x^{2}+\frac{7}{15}x+\frac{49}{900}. Генерално, кога x^{2}+bx+c е совршен квадрат, може секогаш да се факторира како \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{7}{30}\right)^{2}=\frac{169}{900}$$

Извадете квадратен корен од двете страни на равенката.

$$\sqrt{\left(x+\frac{7}{30}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{900}}$$

Поедноставување.

$$x+\frac{7}{30}=\frac{13}{30} x+\frac{7}{30}=-\frac{13}{30}$$

Одземање на \frac{7}{30} од двете страни на равенката.

$$x=\frac{1}{5} x=-\frac{2}{3}$$