Решете 7x^2-18x-9=0

$$7 x ^ { 2 } - 18 x - 9 = 0$$

Реши за x

$$x=-\frac{3}{7}\approx -0,428571429$$

$$x=3$$

Чекори за употреба на факторирање со групирање

За да ја решите равенката, факторирајте ја левата страна со групирање. Прво, левата страна треба да се препише како 7x^{2}+ax+bx-9. За да ги најдете a и b, поставете систем за решавање.

$$a+b=-18 ab=7\left(-9\right)=-63$$

Бидејќи ab е негативно, a и b имаат спротивни знаци. Бидејќи a+b е негативно, негативниот број има поголема апсолутна вредност од позитивниот. Наведете ги сите парови цели броеви што даваат производ -63.

$$1,-63 3,-21 7,-9$$

Пресметајте го збирот за секој пар.

$$1-63=-62 3-21=-18 7-9=-2$$

Решението е парот што дава збир -18.

$$a=-21 b=3$$

Препиши го 7x^{2}-18x-9 како \left(7x^{2}-21x\right)+\left(3x-9\right).

$$\left(7x^{2}-21x\right)+\left(3x-9\right)$$

Исклучете го факторот 7x во првата група и 3 во втората група.

$$7x\left(x-3\right)+3\left(x-3\right)$$

Факторирај го заедничкиот термин x-3 со помош на дистрибутивно својство.

$$\left(x-3\right)\left(7x+3\right)$$

За да најдете решенија за равенката, решете ги x-3=0 и 7x+3=0.

$$x=3 x=-\frac{3}{7}$$

Чекори за користење на формулата за квадратна равенка

Сите равенки што ја имаат формата ax^{2}+bx+c=0 може да се решат со формулата за квадратна равенка: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Формулата за квадратна равенка дава две решенија, едно кога ± е собирање, а друго кога е одземање.

$$7x^{2}-18x-9=0$$

Оваа равенка е во стандардна форма: ax^{2}+bx+c=0. Ставете 7 за a, -18 за b и -9 за c во формулата за квадратна равенка \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-18\right)±\sqrt{\left(-18\right)^{2}-4\times 7\left(-9\right)}}{2\times 7}$$

Квадрат од -18.

$$x=\frac{-\left(-18\right)±\sqrt{324-4\times 7\left(-9\right)}}{2\times 7}$$

Множење на -4 со 7.

$$x=\frac{-\left(-18\right)±\sqrt{324-28\left(-9\right)}}{2\times 7}$$

Множење на -28 со -9.

$$x=\frac{-\left(-18\right)±\sqrt{324+252}}{2\times 7}$$

Собирање на 324 и 252.

$$x=\frac{-\left(-18\right)±\sqrt{576}}{2\times 7}$$

Вадење квадратен корен од 576.

$$x=\frac{-\left(-18\right)±24}{2\times 7}$$

Спротивно на -18 е 18.

$$x=\frac{18±24}{2\times 7}$$

Множење на 2 со 7.

$$x=\frac{18±24}{14}$$

Сега решете ја равенката x=\frac{18±24}{14} кога ± ќе биде плус. Собирање на 18 и 24.

$$x=\frac{42}{14}$$

Делење на 42 со 14.

$$x=3$$

Сега решете ја равенката x=\frac{18±24}{14} кога ± ќе биде минус. Одземање на 24 од 18.

$$x=-\frac{6}{14}$$

Намалете ја дропката \frac{-6}{14} до најниските услови со извлекување и откажување на 2.

$$x=-\frac{3}{7}$$

Равенката сега е решена.

$$x=3 x=-\frac{3}{7}$$

Чекори за пополнување на квадратот

Квадратните равенки како оваа може да се решат со пополнување на квадратот. За да го пополните, равенката прво мора да биде во формата x^{2}+bx=c.

$$7x^{2}-18x-9=0$$

Додавање на 9 на двете страни на равенката.

$$7x^{2}-18x-9-\left(-9\right)=-\left(-9\right)$$

Ако одземете -9 од истиот број, ќе остане 0.

$$7x^{2}-18x=-\left(-9\right)$$

Одземање на -9 од 0.

$$7x^{2}-18x=9$$

Поделете ги двете страни со 7.

$$\frac{7x^{2}-18x}{7}=\frac{9}{7}$$

Ако поделите со 7, ќе се врати множењето со 7.

$$x^{2}-\frac{18}{7}x=\frac{9}{7}$$

Поделете го -\frac{18}{7}, коефициентот на членот x, со 2 за да добиете -\frac{9}{7}. Потоа додајте го квадратот од -\frac{9}{7} на двете страни од равенката. Овој чекор ќе ја направи левата страна на равенката совршен квадрат.

$$x^{2}-\frac{18}{7}x+\left(-\frac{9}{7}\right)^{2}=\frac{9}{7}+\left(-\frac{9}{7}\right)^{2}$$

Кренете -\frac{9}{7} на квадрат со кревање и на броителот и на именителот на дропката на квадрат.

$$x^{2}-\frac{18}{7}x+\frac{81}{49}=\frac{9}{7}+\frac{81}{49}$$

Соберете ги \frac{9}{7} и \frac{81}{49} со наоѓање на заедничкиот именител и собирање на броителите. Потоа намалете ја дропката на најмалите членови ако е можно.

$$x^{2}-\frac{18}{7}x+\frac{81}{49}=\frac{144}{49}$$

Фактор x^{2}-\frac{18}{7}x+\frac{81}{49}. Генерално, кога x^{2}+bx+c е совршен квадрат, може секогаш да се факторира како \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{9}{7}\right)^{2}=\frac{144}{49}$$

Извадете квадратен корен од двете страни на равенката.

$$\sqrt{\left(x-\frac{9}{7}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{144}{49}}$$

Поедноставување.

$$x-\frac{9}{7}=\frac{12}{7} x-\frac{9}{7}=-\frac{12}{7}$$

Додавање на \frac{9}{7} на двете страни на равенката.

$$x=3 x=-\frac{3}{7}$$