Решете 7x^2+4x+1=0

$$7 x ^ { 2 } + 4 x + 1 = 0$$

Реши за x (complex solution)

$$x=\frac{-2+\sqrt{3}i}{7}\approx -0,285714286+0,24743583i$$

$$x=\frac{-\sqrt{3}i-2}{7}\approx -0,285714286-0,24743583i$$

Чекори за користење на формулата за квадратна равенка

Сите равенки што ја имаат формата ax^{2}+bx+c=0 може да се решат со формулата за квадратна равенка: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Формулата за квадратна равенка дава две решенија, едно кога ± е собирање, а друго кога е одземање.

$$7x^{2}+4x+1=0$$

Оваа равенка е во стандардна форма: ax^{2}+bx+c=0. Ставете 7 за a, 4 за b и 1 за c во формулата за квадратна равенка \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\times 7}}{2\times 7}$$

Квадрат од 4.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-4\times 7}}{2\times 7}$$

Множење на -4 со 7.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-28}}{2\times 7}$$

Собирање на 16 и -28.

$$x=\frac{-4±\sqrt{-12}}{2\times 7}$$

Вадење квадратен корен од -12.

$$x=\frac{-4±2\sqrt{3}i}{2\times 7}$$

Множење на 2 со 7.

$$x=\frac{-4±2\sqrt{3}i}{14}$$

Сега решете ја равенката x=\frac{-4±2\sqrt{3}i}{14} кога ± ќе биде плус. Собирање на -4 и 2i\sqrt{3}.

$$x=\frac{-4+2\sqrt{3}i}{14}$$

Делење на -4+2i\sqrt{3} со 14.

$$x=\frac{-2+\sqrt{3}i}{7}$$

Сега решете ја равенката x=\frac{-4±2\sqrt{3}i}{14} кога ± ќе биде минус. Одземање на 2i\sqrt{3} од -4.

$$x=\frac{-2\sqrt{3}i-4}{14}$$

Делење на -4-2i\sqrt{3} со 14.

$$x=\frac{-\sqrt{3}i-2}{7}$$

Равенката сега е решена.

$$x=\frac{-2+\sqrt{3}i}{7} x=\frac{-\sqrt{3}i-2}{7}$$

Чекори за пополнување на квадратот

Квадратните равенки како оваа може да се решат со пополнување на квадратот. За да го пополните, равенката прво мора да биде во формата x^{2}+bx=c.

$$7x^{2}+4x+1=0$$

Одземање на 1 од двете страни на равенката.

$$7x^{2}+4x+1-1=-1$$

Ако одземете 1 од истиот број, ќе остане 0.

$$7x^{2}+4x=-1$$

Поделете ги двете страни со 7.

$$\frac{7x^{2}+4x}{7}=-\frac{1}{7}$$

Ако поделите со 7, ќе се врати множењето со 7.

$$x^{2}+\frac{4}{7}x=-\frac{1}{7}$$

Поделете го \frac{4}{7}, коефициентот на членот x, со 2 за да добиете \frac{2}{7}. Потоа додајте го квадратот од \frac{2}{7} на двете страни од равенката. Овој чекор ќе ја направи левата страна на равенката совршен квадрат.

$$x^{2}+\frac{4}{7}x+\left(\frac{2}{7}\right)^{2}=-\frac{1}{7}+\left(\frac{2}{7}\right)^{2}$$

Кренете \frac{2}{7} на квадрат со кревање и на броителот и на именителот на дропката на квадрат.

$$x^{2}+\frac{4}{7}x+\frac{4}{49}=-\frac{1}{7}+\frac{4}{49}$$

Соберете ги -\frac{1}{7} и \frac{4}{49} со наоѓање на заедничкиот именител и собирање на броителите. Потоа намалете ја дропката на најмалите членови ако е можно.

$$x^{2}+\frac{4}{7}x+\frac{4}{49}=-\frac{3}{49}$$

Фактор x^{2}+\frac{4}{7}x+\frac{4}{49}. Генерално, кога x^{2}+bx+c е совршен квадрат, може секогаш да се факторира како \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{2}{7}\right)^{2}=-\frac{3}{49}$$

Извадете квадратен корен од двете страни на равенката.

$$\sqrt{\left(x+\frac{2}{7}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{3}{49}}$$

Поедноставување.

$$x+\frac{2}{7}=\frac{\sqrt{3}i}{7} x+\frac{2}{7}=-\frac{\sqrt{3}i}{7}$$

Одземање на \frac{2}{7} од двете страни на равенката.

$$x=\frac{-2+\sqrt{3}i}{7} x=\frac{-\sqrt{3}i-2}{7}$$