Решете 7x^2+2407x-61800=0

$$7 x ^ { 2 } + 2407 x - 61800 = 0$$

Реши за x

$$x = -\frac{2575}{7} = -367\frac{6}{7} \approx -367,857142857$$

$$x=24$$

Чекори за употреба на факторирање со групирање

За да ја решите равенката, факторирајте ја левата страна со групирање. Прво, левата страна треба да се препише како 7x^{2}+ax+bx-61800. За да ги најдете a и b, поставете систем за решавање.

$$a+b=2407 ab=7\left(-61800\right)=-432600$$

Бидејќи ab е негативно, a и b имаат спротивни знаци. Бидејќи a+b е позитивно, позитивниот број има поголема апсолутна вредност од негативниот. Наведете ги сите парови цели броеви што даваат производ -432600.

$$-1,432600 -2,216300 -3,144200 -4,108150 -5,86520 -6,72100 -7,61800 -8,54075 -10,43260 -12,36050 -14,30900 -15,28840 -20,21630 -21,20600 -24,18025 -25,17304 -28,15450 -30,14420 -35,12360 -40,10815 -42,10300 -50,8652 -56,7725 -60,7210 -70,6180 -75,5768 -84,5150 -100,4326 -103,4200 -105,4120 -120,3605 -140,3090 -150,2884 -168,2575 -175,2472 -200,2163 -206,2100 -210,2060 -280,1545 -300,1442 -309,1400 -350,1236 -412,1050 -420,1030 -515,840 -525,824 -600,721 -618,700$$

Пресметајте го збирот за секој пар.

$$-1+432600=432599 -2+216300=216298 -3+144200=144197 -4+108150=108146 -5+86520=86515 -6+72100=72094 -7+61800=61793 -8+54075=54067 -10+43260=43250 -12+36050=36038 -14+30900=30886 -15+28840=28825 -20+21630=21610 -21+20600=20579 -24+18025=18001 -25+17304=17279 -28+15450=15422 -30+14420=14390 -35+12360=12325 -40+10815=10775 -42+10300=10258 -50+8652=8602 -56+7725=7669 -60+7210=7150 -70+6180=6110 -75+5768=5693 -84+5150=5066 -100+4326=4226 -103+4200=4097 -105+4120=4015 -120+3605=3485 -140+3090=2950 -150+2884=2734 -168+2575=2407 -175+2472=2297 -200+2163=1963 -206+2100=1894 -210+2060=1850 -280+1545=1265 -300+1442=1142 -309+1400=1091 -350+1236=886 -412+1050=638 -420+1030=610 -515+840=325 -525+824=299 -600+721=121 -618+700=82$$

Решението е парот што дава збир 2407.

$$a=-168 b=2575$$

Препиши го 7x^{2}+2407x-61800 како \left(7x^{2}-168x\right)+\left(2575x-61800\right).

$$\left(7x^{2}-168x\right)+\left(2575x-61800\right)$$

Исклучете го факторот 7x во првата група и 2575 во втората група.

$$7x\left(x-24\right)+2575\left(x-24\right)$$

Факторирај го заедничкиот термин x-24 со помош на дистрибутивно својство.

$$\left(x-24\right)\left(7x+2575\right)$$

За да најдете решенија за равенката, решете ги x-24=0 и 7x+2575=0.

$$x=24 x=-\frac{2575}{7}$$

Чекори за користење на формулата за квадратна равенка

Сите равенки што ја имаат формата ax^{2}+bx+c=0 може да се решат со формулата за квадратна равенка: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Формулата за квадратна равенка дава две решенија, едно кога ± е собирање, а друго кога е одземање.

$$7x^{2}+2407x-61800=0$$

Оваа равенка е во стандардна форма: ax^{2}+bx+c=0. Ставете 7 за a, 2407 за b и -61800 за c во формулата за квадратна равенка \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-2407±\sqrt{2407^{2}-4\times 7\left(-61800\right)}}{2\times 7}$$

Квадрат од 2407.

$$x=\frac{-2407±\sqrt{5793649-4\times 7\left(-61800\right)}}{2\times 7}$$

Множење на -4 со 7.

$$x=\frac{-2407±\sqrt{5793649-28\left(-61800\right)}}{2\times 7}$$

Множење на -28 со -61800.

$$x=\frac{-2407±\sqrt{5793649+1730400}}{2\times 7}$$

Собирање на 5793649 и 1730400.

$$x=\frac{-2407±\sqrt{7524049}}{2\times 7}$$

Вадење квадратен корен од 7524049.

$$x=\frac{-2407±2743}{2\times 7}$$

Множење на 2 со 7.

$$x=\frac{-2407±2743}{14}$$

Сега решете ја равенката x=\frac{-2407±2743}{14} кога ± ќе биде плус. Собирање на -2407 и 2743.

$$x=\frac{336}{14}$$

Делење на 336 со 14.

$$x=24$$

Сега решете ја равенката x=\frac{-2407±2743}{14} кога ± ќе биде минус. Одземање на 2743 од -2407.

$$x=-\frac{5150}{14}$$

Намалете ја дропката \frac{-5150}{14} до најниските услови со извлекување и откажување на 2.

$$x=-\frac{2575}{7}$$

Равенката сега е решена.

$$x=24 x=-\frac{2575}{7}$$

Чекори за пополнување на квадратот

Квадратните равенки како оваа може да се решат со пополнување на квадратот. За да го пополните, равенката прво мора да биде во формата x^{2}+bx=c.

$$7x^{2}+2407x-61800=0$$

Додавање на 61800 на двете страни на равенката.

$$7x^{2}+2407x-61800-\left(-61800\right)=-\left(-61800\right)$$

Ако одземете -61800 од истиот број, ќе остане 0.

$$7x^{2}+2407x=-\left(-61800\right)$$

Одземање на -61800 од 0.

$$7x^{2}+2407x=61800$$

Поделете ги двете страни со 7.

$$\frac{7x^{2}+2407x}{7}=\frac{61800}{7}$$

Ако поделите со 7, ќе се врати множењето со 7.

$$x^{2}+\frac{2407}{7}x=\frac{61800}{7}$$

Поделете го \frac{2407}{7}, коефициентот на членот x, со 2 за да добиете \frac{2407}{14}. Потоа додајте го квадратот од \frac{2407}{14} на двете страни од равенката. Овој чекор ќе ја направи левата страна на равенката совршен квадрат.

$$x^{2}+\frac{2407}{7}x+\left(\frac{2407}{14}\right)^{2}=\frac{61800}{7}+\left(\frac{2407}{14}\right)^{2}$$

Кренете \frac{2407}{14} на квадрат со кревање и на броителот и на именителот на дропката на квадрат.

$$x^{2}+\frac{2407}{7}x+\frac{5793649}{196}=\frac{61800}{7}+\frac{5793649}{196}$$

Соберете ги \frac{61800}{7} и \frac{5793649}{196} со наоѓање на заедничкиот именител и собирање на броителите. Потоа намалете ја дропката на најмалите членови ако е можно.

$$x^{2}+\frac{2407}{7}x+\frac{5793649}{196}=\frac{7524049}{196}$$

Фактор x^{2}+\frac{2407}{7}x+\frac{5793649}{196}. Генерално, кога x^{2}+bx+c е совршен квадрат, може секогаш да се факторира како \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{2407}{14}\right)^{2}=\frac{7524049}{196}$$

Извадете квадратен корен од двете страни на равенката.

$$\sqrt{\left(x+\frac{2407}{14}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{7524049}{196}}$$

Поедноставување.

$$x+\frac{2407}{14}=\frac{2743}{14} x+\frac{2407}{14}=-\frac{2743}{14}$$

Одземање на \frac{2407}{14} од двете страни на равенката.

$$x=24 x=-\frac{2575}{7}$$