Решете 6x^2-9x-60=0

$$6 x ^ { 2 } - 9 x - 60 = 0$$

Реши за x

$$x = -\frac{5}{2} = -2\frac{1}{2} = -2,5$$

$$x=4$$

Чекори за употреба на факторирање со групирање

Поделете ги двете страни со 3.

$$2x^{2}-3x-20=0$$

За да ја решите равенката, факторирајте ја левата страна со групирање. Прво, левата страна треба да се препише како 2x^{2}+ax+bx-20. За да ги најдете a и b, поставете систем за решавање.

$$a+b=-3 ab=2\left(-20\right)=-40$$

Бидејќи ab е негативно, a и b имаат спротивни знаци. Бидејќи a+b е негативно, негативниот број има поголема апсолутна вредност од позитивниот. Наведете ги сите парови цели броеви што даваат производ -40.

$$1,-40 2,-20 4,-10 5,-8$$

Пресметајте го збирот за секој пар.

$$1-40=-39 2-20=-18 4-10=-6 5-8=-3$$

Решението е парот што дава збир -3.

$$a=-8 b=5$$

Препиши го 2x^{2}-3x-20 како \left(2x^{2}-8x\right)+\left(5x-20\right).

$$\left(2x^{2}-8x\right)+\left(5x-20\right)$$

Исклучете го факторот 2x во првата група и 5 во втората група.

$$2x\left(x-4\right)+5\left(x-4\right)$$

Факторирај го заедничкиот термин x-4 со помош на дистрибутивно својство.

$$\left(x-4\right)\left(2x+5\right)$$

За да најдете решенија за равенката, решете ги x-4=0 и 2x+5=0.

$$x=4 x=-\frac{5}{2}$$

Чекори за користење на формулата за квадратна равенка

Сите равенки што ја имаат формата ax^{2}+bx+c=0 може да се решат со формулата за квадратна равенка: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Формулата за квадратна равенка дава две решенија, едно кога ± е собирање, а друго кога е одземање.

$$6x^{2}-9x-60=0$$

Оваа равенка е во стандардна форма: ax^{2}+bx+c=0. Ставете 6 за a, -9 за b и -60 за c во формулата за квадратна равенка \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{\left(-9\right)^{2}-4\times 6\left(-60\right)}}{2\times 6}$$

Квадрат од -9.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81-4\times 6\left(-60\right)}}{2\times 6}$$

Множење на -4 со 6.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81-24\left(-60\right)}}{2\times 6}$$

Множење на -24 со -60.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81+1440}}{2\times 6}$$

Собирање на 81 и 1440.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{1521}}{2\times 6}$$

Вадење квадратен корен од 1521.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±39}{2\times 6}$$

Спротивно на -9 е 9.

$$x=\frac{9±39}{2\times 6}$$

Множење на 2 со 6.

$$x=\frac{9±39}{12}$$

Сега решете ја равенката x=\frac{9±39}{12} кога ± ќе биде плус. Собирање на 9 и 39.

$$x=\frac{48}{12}$$

Делење на 48 со 12.

$$x=4$$

Сега решете ја равенката x=\frac{9±39}{12} кога ± ќе биде минус. Одземање на 39 од 9.

$$x=-\frac{30}{12}$$

Намалете ја дропката \frac{-30}{12} до најниските услови со извлекување и откажување на 6.

$$x=-\frac{5}{2}$$

Равенката сега е решена.

$$x=4 x=-\frac{5}{2}$$

Чекори за пополнување на квадратот

Квадратните равенки како оваа може да се решат со пополнување на квадратот. За да го пополните, равенката прво мора да биде во формата x^{2}+bx=c.

$$6x^{2}-9x-60=0$$

Додавање на 60 на двете страни на равенката.

$$6x^{2}-9x-60-\left(-60\right)=-\left(-60\right)$$

Ако одземете -60 од истиот број, ќе остане 0.

$$6x^{2}-9x=-\left(-60\right)$$

Одземање на -60 од 0.

$$6x^{2}-9x=60$$

Поделете ги двете страни со 6.

$$\frac{6x^{2}-9x}{6}=\frac{60}{6}$$

Ако поделите со 6, ќе се врати множењето со 6.

$$x^{2}+\left(-\frac{9}{6}\right)x=\frac{60}{6}$$

Намалете ја дропката \frac{-9}{6} до најниските услови со извлекување и откажување на 3.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x=\frac{60}{6}$$

Делење на 60 со 6.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x=10$$

Поделете го -\frac{3}{2}, коефициентот на членот x, со 2 за да добиете -\frac{3}{4}. Потоа додајте го квадратот од -\frac{3}{4} на двете страни од равенката. Овој чекор ќе ја направи левата страна на равенката совршен квадрат.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x+\left(-\frac{3}{4}\right)^{2}=10+\left(-\frac{3}{4}\right)^{2}$$

Кренете -\frac{3}{4} на квадрат со кревање и на броителот и на именителот на дропката на квадрат.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=10+\frac{9}{16}$$

Собирање на 10 и \frac{9}{16}.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=\frac{169}{16}$$

Фактор x^{2}-\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}. Генерално, кога x^{2}+bx+c е совршен квадрат, може секогаш да се факторира како \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{3}{4}\right)^{2}=\frac{169}{16}$$

Извадете квадратен корен од двете страни на равенката.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{16}}$$

Поедноставување.

$$x-\frac{3}{4}=\frac{13}{4} x-\frac{3}{4}=-\frac{13}{4}$$

Додавање на \frac{3}{4} на двете страни на равенката.

$$x=4 x=-\frac{5}{2}$$