Решете 6x^2-5x-1=0

$$6 { x }^{ 2 } -5x-1=0$$

Реши за x

$$x=-\frac{1}{6}\approx -0,166666667$$

$$x=1$$

Чекори за употреба на факторирање со групирање

За да ја решите равенката, факторирајте ја левата страна со групирање. Прво, левата страна треба да се препише како 6x^{2}+ax+bx-1. За да ги најдете a и b, поставете систем за решавање.

$$a+b=-5 ab=6\left(-1\right)=-6$$

Бидејќи ab е негативно, a и b имаат спротивни знаци. Бидејќи a+b е негативно, негативниот број има поголема апсолутна вредност од позитивниот. Наведете ги сите парови цели броеви што даваат производ -6.

$$1,-6 2,-3$$

Пресметајте го збирот за секој пар.

$$1-6=-5 2-3=-1$$

Решението е парот што дава збир -5.

$$a=-6 b=1$$

Препиши го 6x^{2}-5x-1 како \left(6x^{2}-6x\right)+\left(x-1\right).

$$\left(6x^{2}-6x\right)+\left(x-1\right)$$

Факторирај го 6x во 6x^{2}-6x.

$$6x\left(x-1\right)+x-1$$

Факторирај го заедничкиот термин x-1 со помош на дистрибутивно својство.

$$\left(x-1\right)\left(6x+1\right)$$

За да најдете решенија за равенката, решете ги x-1=0 и 6x+1=0.

$$x=1 x=-\frac{1}{6}$$

Чекори за користење на формулата за квадратна равенка

Сите равенки што ја имаат формата ax^{2}+bx+c=0 може да се решат со формулата за квадратна равенка: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Формулата за квадратна равенка дава две решенија, едно кога ± е собирање, а друго кога е одземање.

$$6x^{2}-5x-1=0$$

Оваа равенка е во стандардна форма: ax^{2}+bx+c=0. Ставете 6 за a, -5 за b и -1 за c во формулата за квадратна равенка \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\times 6\left(-1\right)}}{2\times 6}$$

Квадрат од -5.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-4\times 6\left(-1\right)}}{2\times 6}$$

Множење на -4 со 6.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-24\left(-1\right)}}{2\times 6}$$

Множење на -24 со -1.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25+24}}{2\times 6}$$

Собирање на 25 и 24.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{49}}{2\times 6}$$

Вадење квадратен корен од 49.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±7}{2\times 6}$$

Спротивно на -5 е 5.

$$x=\frac{5±7}{2\times 6}$$

Множење на 2 со 6.

$$x=\frac{5±7}{12}$$

Сега решете ја равенката x=\frac{5±7}{12} кога ± ќе биде плус. Собирање на 5 и 7.

$$x=\frac{12}{12}$$

Делење на 12 со 12.

$$x=1$$

Сега решете ја равенката x=\frac{5±7}{12} кога ± ќе биде минус. Одземање на 7 од 5.

$$x=-\frac{2}{12}$$

Намалете ја дропката \frac{-2}{12} до најниските услови со извлекување и откажување на 2.

$$x=-\frac{1}{6}$$

Равенката сега е решена.

$$x=1 x=-\frac{1}{6}$$

Чекори за пополнување на квадратот

Квадратните равенки како оваа може да се решат со пополнување на квадратот. За да го пополните, равенката прво мора да биде во формата x^{2}+bx=c.

$$6x^{2}-5x-1=0$$

Додавање на 1 на двете страни на равенката.

$$6x^{2}-5x-1-\left(-1\right)=-\left(-1\right)$$

Ако одземете -1 од истиот број, ќе остане 0.

$$6x^{2}-5x=-\left(-1\right)$$

Одземање на -1 од 0.

$$6x^{2}-5x=1$$

Поделете ги двете страни со 6.

$$\frac{6x^{2}-5x}{6}=\frac{1}{6}$$

Ако поделите со 6, ќе се врати множењето со 6.

$$x^{2}-\frac{5}{6}x=\frac{1}{6}$$

Поделете го -\frac{5}{6}, коефициентот на членот x, со 2 за да добиете -\frac{5}{12}. Потоа додајте го квадратот од -\frac{5}{12} на двете страни од равенката. Овој чекор ќе ја направи левата страна на равенката совршен квадрат.

$$x^{2}-\frac{5}{6}x+\left(-\frac{5}{12}\right)^{2}=\frac{1}{6}+\left(-\frac{5}{12}\right)^{2}$$

Кренете -\frac{5}{12} на квадрат со кревање и на броителот и на именителот на дропката на квадрат.

$$x^{2}-\frac{5}{6}x+\frac{25}{144}=\frac{1}{6}+\frac{25}{144}$$

Соберете ги \frac{1}{6} и \frac{25}{144} со наоѓање на заедничкиот именител и собирање на броителите. Потоа намалете ја дропката на најмалите членови ако е можно.

$$x^{2}-\frac{5}{6}x+\frac{25}{144}=\frac{49}{144}$$

Фактор x^{2}-\frac{5}{6}x+\frac{25}{144}. Генерално, кога x^{2}+bx+c е совршен квадрат, може секогаш да се факторира како \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{5}{12}\right)^{2}=\frac{49}{144}$$

Извадете квадратен корен од двете страни на равенката.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{12}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{144}}$$

Поедноставување.

$$x-\frac{5}{12}=\frac{7}{12} x-\frac{5}{12}=-\frac{7}{12}$$

Додавање на \frac{5}{12} на двете страни на равенката.

$$x=1 x=-\frac{1}{6}$$