Решете 6x^2+7x-5=0

$$6 { x }^{ 2 } +7x-5 = 0$$

Реши за x

$$x = -\frac{5}{3} = -1\frac{2}{3} \approx -1,666666667$$

$$x=\frac{1}{2}=0,5$$

Чекори за употреба на факторирање со групирање

За да ја решите равенката, факторирајте ја левата страна со групирање. Прво, левата страна треба да се препише како 6x^{2}+ax+bx-5. За да ги најдете a и b, поставете систем за решавање.

$$a+b=7 ab=6\left(-5\right)=-30$$

Бидејќи ab е негативно, a и b имаат спротивни знаци. Бидејќи a+b е позитивно, позитивниот број има поголема апсолутна вредност од негативниот. Наведете ги сите парови цели броеви што даваат производ -30.

$$-1,30 -2,15 -3,10 -5,6$$

Пресметајте го збирот за секој пар.

$$-1+30=29 -2+15=13 -3+10=7 -5+6=1$$

Решението е парот што дава збир 7.

$$a=-3 b=10$$

Препиши го 6x^{2}+7x-5 како \left(6x^{2}-3x\right)+\left(10x-5\right).

$$\left(6x^{2}-3x\right)+\left(10x-5\right)$$

Исклучете го факторот 3x во првата група и 5 во втората група.

$$3x\left(2x-1\right)+5\left(2x-1\right)$$

Факторирај го заедничкиот термин 2x-1 со помош на дистрибутивно својство.

$$\left(2x-1\right)\left(3x+5\right)$$

За да најдете решенија за равенката, решете ги 2x-1=0 и 3x+5=0.

$$x=\frac{1}{2} x=-\frac{5}{3}$$

Чекори за користење на формулата за квадратна равенка

Сите равенки што ја имаат формата ax^{2}+bx+c=0 може да се решат со формулата за квадратна равенка: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Формулата за квадратна равенка дава две решенија, едно кога ± е собирање, а друго кога е одземање.

$$6x^{2}+7x-5=0$$

Оваа равенка е во стандардна форма: ax^{2}+bx+c=0. Ставете 6 за a, 7 за b и -5 за c во формулата за квадратна равенка \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-7±\sqrt{7^{2}-4\times 6\left(-5\right)}}{2\times 6}$$

Квадрат од 7.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-4\times 6\left(-5\right)}}{2\times 6}$$

Множење на -4 со 6.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-24\left(-5\right)}}{2\times 6}$$

Множење на -24 со -5.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49+120}}{2\times 6}$$

Собирање на 49 и 120.

$$x=\frac{-7±\sqrt{169}}{2\times 6}$$

Вадење квадратен корен од 169.

$$x=\frac{-7±13}{2\times 6}$$

Множење на 2 со 6.

$$x=\frac{-7±13}{12}$$

Сега решете ја равенката x=\frac{-7±13}{12} кога ± ќе биде плус. Собирање на -7 и 13.

$$x=\frac{6}{12}$$

Намалете ја дропката \frac{6}{12} до најниските услови со извлекување и откажување на 6.

$$x=\frac{1}{2}$$

Сега решете ја равенката x=\frac{-7±13}{12} кога ± ќе биде минус. Одземање на 13 од -7.

$$x=-\frac{20}{12}$$

Намалете ја дропката \frac{-20}{12} до најниските услови со извлекување и откажување на 4.

$$x=-\frac{5}{3}$$

Равенката сега е решена.

$$x=\frac{1}{2} x=-\frac{5}{3}$$

Чекори за пополнување на квадратот

Квадратните равенки како оваа може да се решат со пополнување на квадратот. За да го пополните, равенката прво мора да биде во формата x^{2}+bx=c.

$$6x^{2}+7x-5=0$$

Додавање на 5 на двете страни на равенката.

$$6x^{2}+7x-5-\left(-5\right)=-\left(-5\right)$$

Ако одземете -5 од истиот број, ќе остане 0.

$$6x^{2}+7x=-\left(-5\right)$$

Одземање на -5 од 0.

$$6x^{2}+7x=5$$

Поделете ги двете страни со 6.

$$\frac{6x^{2}+7x}{6}=\frac{5}{6}$$

Ако поделите со 6, ќе се врати множењето со 6.

$$x^{2}+\frac{7}{6}x=\frac{5}{6}$$

Поделете го \frac{7}{6}, коефициентот на членот x, со 2 за да добиете \frac{7}{12}. Потоа додајте го квадратот од \frac{7}{12} на двете страни од равенката. Овој чекор ќе ја направи левата страна на равенката совршен квадрат.

$$x^{2}+\frac{7}{6}x+\left(\frac{7}{12}\right)^{2}=\frac{5}{6}+\left(\frac{7}{12}\right)^{2}$$

Кренете \frac{7}{12} на квадрат со кревање и на броителот и на именителот на дропката на квадрат.

$$x^{2}+\frac{7}{6}x+\frac{49}{144}=\frac{5}{6}+\frac{49}{144}$$

Соберете ги \frac{5}{6} и \frac{49}{144} со наоѓање на заедничкиот именител и собирање на броителите. Потоа намалете ја дропката на најмалите членови ако е можно.

$$x^{2}+\frac{7}{6}x+\frac{49}{144}=\frac{169}{144}$$

Фактор x^{2}+\frac{7}{6}x+\frac{49}{144}. Генерално, кога x^{2}+bx+c е совршен квадрат, може секогаш да се факторира како \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{7}{12}\right)^{2}=\frac{169}{144}$$

Извадете квадратен корен од двете страни на равенката.

$$\sqrt{\left(x+\frac{7}{12}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{144}}$$

Поедноставување.

$$x+\frac{7}{12}=\frac{13}{12} x+\frac{7}{12}=-\frac{13}{12}$$

Одземање на \frac{7}{12} од двете страни на равенката.

$$x=\frac{1}{2} x=-\frac{5}{3}$$