Решете 6x^2+19x-7=0

$$6 { x }^{ 2 } +19x-7=0$$

Реши за x

$$x = -\frac{7}{2} = -3\frac{1}{2} = -3,5$$

$$x=\frac{1}{3}\approx 0,333333333$$

Чекори за употреба на факторирање со групирање

За да ја решите равенката, факторирајте ја левата страна со групирање. Прво, левата страна треба да се препише како 6x^{2}+ax+bx-7. За да ги најдете a и b, поставете систем за решавање.

$$a+b=19 ab=6\left(-7\right)=-42$$

Бидејќи ab е негативно, a и b имаат спротивни знаци. Бидејќи a+b е позитивно, позитивниот број има поголема апсолутна вредност од негативниот. Наведете ги сите парови цели броеви што даваат производ -42.

$$-1,42 -2,21 -3,14 -6,7$$

Пресметајте го збирот за секој пар.

$$-1+42=41 -2+21=19 -3+14=11 -6+7=1$$

Решението е парот што дава збир 19.

$$a=-2 b=21$$

Препиши го 6x^{2}+19x-7 како \left(6x^{2}-2x\right)+\left(21x-7\right).

$$\left(6x^{2}-2x\right)+\left(21x-7\right)$$

Исклучете го факторот 2x во првата група и 7 во втората група.

$$2x\left(3x-1\right)+7\left(3x-1\right)$$

Факторирај го заедничкиот термин 3x-1 со помош на дистрибутивно својство.

$$\left(3x-1\right)\left(2x+7\right)$$

За да најдете решенија за равенката, решете ги 3x-1=0 и 2x+7=0.

$$x=\frac{1}{3} x=-\frac{7}{2}$$

Чекори за користење на формулата за квадратна равенка

Сите равенки што ја имаат формата ax^{2}+bx+c=0 може да се решат со формулата за квадратна равенка: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Формулата за квадратна равенка дава две решенија, едно кога ± е собирање, а друго кога е одземање.

$$6x^{2}+19x-7=0$$

Оваа равенка е во стандардна форма: ax^{2}+bx+c=0. Ставете 6 за a, 19 за b и -7 за c во формулата за квадратна равенка \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-19±\sqrt{19^{2}-4\times 6\left(-7\right)}}{2\times 6}$$

Квадрат од 19.

$$x=\frac{-19±\sqrt{361-4\times 6\left(-7\right)}}{2\times 6}$$

Множење на -4 со 6.

$$x=\frac{-19±\sqrt{361-24\left(-7\right)}}{2\times 6}$$

Множење на -24 со -7.

$$x=\frac{-19±\sqrt{361+168}}{2\times 6}$$

Собирање на 361 и 168.

$$x=\frac{-19±\sqrt{529}}{2\times 6}$$

Вадење квадратен корен од 529.

$$x=\frac{-19±23}{2\times 6}$$

Множење на 2 со 6.

$$x=\frac{-19±23}{12}$$

Сега решете ја равенката x=\frac{-19±23}{12} кога ± ќе биде плус. Собирање на -19 и 23.

$$x=\frac{4}{12}$$

Намалете ја дропката \frac{4}{12} до најниските услови со извлекување и откажување на 4.

$$x=\frac{1}{3}$$

Сега решете ја равенката x=\frac{-19±23}{12} кога ± ќе биде минус. Одземање на 23 од -19.

$$x=-\frac{42}{12}$$

Намалете ја дропката \frac{-42}{12} до најниските услови со извлекување и откажување на 6.

$$x=-\frac{7}{2}$$

Равенката сега е решена.

$$x=\frac{1}{3} x=-\frac{7}{2}$$

Чекори за пополнување на квадратот

Квадратните равенки како оваа може да се решат со пополнување на квадратот. За да го пополните, равенката прво мора да биде во формата x^{2}+bx=c.

$$6x^{2}+19x-7=0$$

Додавање на 7 на двете страни на равенката.

$$6x^{2}+19x-7-\left(-7\right)=-\left(-7\right)$$

Ако одземете -7 од истиот број, ќе остане 0.

$$6x^{2}+19x=-\left(-7\right)$$

Одземање на -7 од 0.

$$6x^{2}+19x=7$$

Поделете ги двете страни со 6.

$$\frac{6x^{2}+19x}{6}=\frac{7}{6}$$

Ако поделите со 6, ќе се врати множењето со 6.

$$x^{2}+\frac{19}{6}x=\frac{7}{6}$$

Поделете го \frac{19}{6}, коефициентот на членот x, со 2 за да добиете \frac{19}{12}. Потоа додајте го квадратот од \frac{19}{12} на двете страни од равенката. Овој чекор ќе ја направи левата страна на равенката совршен квадрат.

$$x^{2}+\frac{19}{6}x+\left(\frac{19}{12}\right)^{2}=\frac{7}{6}+\left(\frac{19}{12}\right)^{2}$$

Кренете \frac{19}{12} на квадрат со кревање и на броителот и на именителот на дропката на квадрат.

$$x^{2}+\frac{19}{6}x+\frac{361}{144}=\frac{7}{6}+\frac{361}{144}$$

Соберете ги \frac{7}{6} и \frac{361}{144} со наоѓање на заедничкиот именител и собирање на броителите. Потоа намалете ја дропката на најмалите членови ако е можно.

$$x^{2}+\frac{19}{6}x+\frac{361}{144}=\frac{529}{144}$$

Фактор x^{2}+\frac{19}{6}x+\frac{361}{144}. Генерално, кога x^{2}+bx+c е совршен квадрат, може секогаш да се факторира како \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{19}{12}\right)^{2}=\frac{529}{144}$$

Извадете квадратен корен од двете страни на равенката.

$$\sqrt{\left(x+\frac{19}{12}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{529}{144}}$$

Поедноставување.

$$x+\frac{19}{12}=\frac{23}{12} x+\frac{19}{12}=-\frac{23}{12}$$

Одземање на \frac{19}{12} од двете страни на равенката.

$$x=\frac{1}{3} x=-\frac{7}{2}$$