Решете 6x^2+17x+5=0

$$6 { x }^{ 2 } +17x+5=0$$

Реши за x

$$x = -\frac{5}{2} = -2\frac{1}{2} = -2,5$$

$$x=-\frac{1}{3}\approx -0,333333333$$

Чекори за употреба на факторирање со групирање

За да ја решите равенката, факторирајте ја левата страна со групирање. Прво, левата страна треба да се препише како 6x^{2}+ax+bx+5. За да ги најдете a и b, поставете систем за решавање.

$$a+b=17 ab=6\times 5=30$$

Бидејќи ab е позитивно, a и b го имаат истиот знак. Бидејќи a+b е позитивно, и a и b се позитивни. Наведете ги сите парови цели броеви што даваат производ 30.

$$1,30 2,15 3,10 5,6$$

Пресметајте го збирот за секој пар.

$$1+30=31 2+15=17 3+10=13 5+6=11$$

Решението е парот што дава збир 17.

$$a=2 b=15$$

Препиши го 6x^{2}+17x+5 како \left(6x^{2}+2x\right)+\left(15x+5\right).

$$\left(6x^{2}+2x\right)+\left(15x+5\right)$$

Исклучете го факторот 2x во првата група и 5 во втората група.

$$2x\left(3x+1\right)+5\left(3x+1\right)$$

Факторирај го заедничкиот термин 3x+1 со помош на дистрибутивно својство.

$$\left(3x+1\right)\left(2x+5\right)$$

За да најдете решенија за равенката, решете ги 3x+1=0 и 2x+5=0.

$$x=-\frac{1}{3} x=-\frac{5}{2}$$

Чекори за користење на формулата за квадратна равенка

Сите равенки што ја имаат формата ax^{2}+bx+c=0 може да се решат со формулата за квадратна равенка: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Формулата за квадратна равенка дава две решенија, едно кога ± е собирање, а друго кога е одземање.

$$6x^{2}+17x+5=0$$

Оваа равенка е во стандардна форма: ax^{2}+bx+c=0. Ставете 6 за a, 17 за b и 5 за c во формулата за квадратна равенка \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-17±\sqrt{17^{2}-4\times 6\times 5}}{2\times 6}$$

Квадрат од 17.

$$x=\frac{-17±\sqrt{289-4\times 6\times 5}}{2\times 6}$$

Множење на -4 со 6.

$$x=\frac{-17±\sqrt{289-24\times 5}}{2\times 6}$$

Множење на -24 со 5.

$$x=\frac{-17±\sqrt{289-120}}{2\times 6}$$

Собирање на 289 и -120.

$$x=\frac{-17±\sqrt{169}}{2\times 6}$$

Вадење квадратен корен од 169.

$$x=\frac{-17±13}{2\times 6}$$

Множење на 2 со 6.

$$x=\frac{-17±13}{12}$$

Сега решете ја равенката x=\frac{-17±13}{12} кога ± ќе биде плус. Собирање на -17 и 13.

$$x=-\frac{4}{12}$$

Намалете ја дропката \frac{-4}{12} до најниските услови со извлекување и откажување на 4.

$$x=-\frac{1}{3}$$

Сега решете ја равенката x=\frac{-17±13}{12} кога ± ќе биде минус. Одземање на 13 од -17.

$$x=-\frac{30}{12}$$

Намалете ја дропката \frac{-30}{12} до најниските услови со извлекување и откажување на 6.

$$x=-\frac{5}{2}$$

Равенката сега е решена.

$$x=-\frac{1}{3} x=-\frac{5}{2}$$

Чекори за пополнување на квадратот

Квадратните равенки како оваа може да се решат со пополнување на квадратот. За да го пополните, равенката прво мора да биде во формата x^{2}+bx=c.

$$6x^{2}+17x+5=0$$

Одземање на 5 од двете страни на равенката.

$$6x^{2}+17x+5-5=-5$$

Ако одземете 5 од истиот број, ќе остане 0.

$$6x^{2}+17x=-5$$

Поделете ги двете страни со 6.

$$\frac{6x^{2}+17x}{6}=-\frac{5}{6}$$

Ако поделите со 6, ќе се врати множењето со 6.

$$x^{2}+\frac{17}{6}x=-\frac{5}{6}$$

Поделете го \frac{17}{6}, коефициентот на членот x, со 2 за да добиете \frac{17}{12}. Потоа додајте го квадратот од \frac{17}{12} на двете страни од равенката. Овој чекор ќе ја направи левата страна на равенката совршен квадрат.

$$x^{2}+\frac{17}{6}x+\left(\frac{17}{12}\right)^{2}=-\frac{5}{6}+\left(\frac{17}{12}\right)^{2}$$

Кренете \frac{17}{12} на квадрат со кревање и на броителот и на именителот на дропката на квадрат.

$$x^{2}+\frac{17}{6}x+\frac{289}{144}=-\frac{5}{6}+\frac{289}{144}$$

Соберете ги -\frac{5}{6} и \frac{289}{144} со наоѓање на заедничкиот именител и собирање на броителите. Потоа намалете ја дропката на најмалите членови ако е можно.

$$x^{2}+\frac{17}{6}x+\frac{289}{144}=\frac{169}{144}$$

Фактор x^{2}+\frac{17}{6}x+\frac{289}{144}. Генерално, кога x^{2}+bx+c е совршен квадрат, може секогаш да се факторира како \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{17}{12}\right)^{2}=\frac{169}{144}$$

Извадете квадратен корен од двете страни на равенката.

$$\sqrt{\left(x+\frac{17}{12}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{144}}$$

Поедноставување.

$$x+\frac{17}{12}=\frac{13}{12} x+\frac{17}{12}=-\frac{13}{12}$$

Одземање на \frac{17}{12} од двете страни на равенката.

$$x=-\frac{1}{3} x=-\frac{5}{2}$$