Решете 6x^2+120x+2070=0

$$6 { x }^{ 2 } +120x+2070 = 0$$

Реши за x (complex solution)

$$x=-10+7\sqrt{5}i\approx -10+15,652475842i$$

$$x=-7\sqrt{5}i-10\approx -10-15,652475842i$$

Чекори за користење на формулата за квадратна равенка

Сите равенки што ја имаат формата ax^{2}+bx+c=0 може да се решат со формулата за квадратна равенка: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Формулата за квадратна равенка дава две решенија, едно кога ± е собирање, а друго кога е одземање.

$$6x^{2}+120x+2070=0$$

Оваа равенка е во стандардна форма: ax^{2}+bx+c=0. Ставете 6 за a, 120 за b и 2070 за c во формулата за квадратна равенка \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-120±\sqrt{120^{2}-4\times 6\times 2070}}{2\times 6}$$

Квадрат од 120.

$$x=\frac{-120±\sqrt{14400-4\times 6\times 2070}}{2\times 6}$$

Множење на -4 со 6.

$$x=\frac{-120±\sqrt{14400-24\times 2070}}{2\times 6}$$

Множење на -24 со 2070.

$$x=\frac{-120±\sqrt{14400-49680}}{2\times 6}$$

Собирање на 14400 и -49680.

$$x=\frac{-120±\sqrt{-35280}}{2\times 6}$$

Вадење квадратен корен од -35280.

$$x=\frac{-120±84\sqrt{5}i}{2\times 6}$$

Множење на 2 со 6.

$$x=\frac{-120±84\sqrt{5}i}{12}$$

Сега решете ја равенката x=\frac{-120±84\sqrt{5}i}{12} кога ± ќе биде плус. Собирање на -120 и 84i\sqrt{5}.

$$x=\frac{-120+84\sqrt{5}i}{12}$$

Делење на -120+84i\sqrt{5} со 12.

$$x=-10+7\sqrt{5}i$$

Сега решете ја равенката x=\frac{-120±84\sqrt{5}i}{12} кога ± ќе биде минус. Одземање на 84i\sqrt{5} од -120.

$$x=\frac{-84\sqrt{5}i-120}{12}$$

Делење на -120-84i\sqrt{5} со 12.

$$x=-7\sqrt{5}i-10$$

Равенката сега е решена.

$$x=-10+7\sqrt{5}i x=-7\sqrt{5}i-10$$

Чекори за пополнување на квадратот

Квадратните равенки како оваа може да се решат со пополнување на квадратот. За да го пополните, равенката прво мора да биде во формата x^{2}+bx=c.

$$6x^{2}+120x+2070=0$$

Одземање на 2070 од двете страни на равенката.

$$6x^{2}+120x+2070-2070=-2070$$

Ако одземете 2070 од истиот број, ќе остане 0.

$$6x^{2}+120x=-2070$$

Поделете ги двете страни со 6.

$$\frac{6x^{2}+120x}{6}=-\frac{2070}{6}$$

Ако поделите со 6, ќе се врати множењето со 6.

$$x^{2}+\frac{120}{6}x=-\frac{2070}{6}$$

Делење на 120 со 6.

$$x^{2}+20x=-\frac{2070}{6}$$

Делење на -2070 со 6.

$$x^{2}+20x=-345$$

Поделете го 20, коефициентот на членот x, со 2 за да добиете 10. Потоа додајте го квадратот од 10 на двете страни од равенката. Овој чекор ќе ја направи левата страна на равенката совршен квадрат.

$$x^{2}+20x+10^{2}=-345+10^{2}$$

Квадрат од 10.

$$x^{2}+20x+100=-345+100$$

Собирање на -345 и 100.

$$x^{2}+20x+100=-245$$

Фактор x^{2}+20x+100. Генерално, кога x^{2}+bx+c е совршен квадрат, може секогаш да се факторира како \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+10\right)^{2}=-245$$

Извадете квадратен корен од двете страни на равенката.

$$\sqrt{\left(x+10\right)^{2}}=\sqrt{-245}$$

Поедноставување.

$$x+10=7\sqrt{5}i x+10=-7\sqrt{5}i$$

Одземање на 10 од двете страни на равенката.

$$x=-10+7\sqrt{5}i x=-7\sqrt{5}i-10$$