Решете 6x^2+11x-10=0

$$6 { x }^{ 2 } +11x-10=0$$

Реши за x

$$x = -\frac{5}{2} = -2\frac{1}{2} = -2,5$$

$$x=\frac{2}{3}\approx 0,666666667$$

Чекори за употреба на факторирање со групирање

За да ја решите равенката, факторирајте ја левата страна со групирање. Прво, левата страна треба да се препише како 6x^{2}+ax+bx-10. За да ги најдете a и b, поставете систем за решавање.

$$a+b=11 ab=6\left(-10\right)=-60$$

Бидејќи ab е негативно, a и b имаат спротивни знаци. Бидејќи a+b е позитивно, позитивниот број има поголема апсолутна вредност од негативниот. Наведете ги сите парови цели броеви што даваат производ -60.

$$-1,60 -2,30 -3,20 -4,15 -5,12 -6,10$$

Пресметајте го збирот за секој пар.

$$-1+60=59 -2+30=28 -3+20=17 -4+15=11 -5+12=7 -6+10=4$$

Решението е парот што дава збир 11.

$$a=-4 b=15$$

Препиши го 6x^{2}+11x-10 како \left(6x^{2}-4x\right)+\left(15x-10\right).

$$\left(6x^{2}-4x\right)+\left(15x-10\right)$$

Исклучете го факторот 2x во првата група и 5 во втората група.

$$2x\left(3x-2\right)+5\left(3x-2\right)$$

Факторирај го заедничкиот термин 3x-2 со помош на дистрибутивно својство.

$$\left(3x-2\right)\left(2x+5\right)$$

За да најдете решенија за равенката, решете ги 3x-2=0 и 2x+5=0.

$$x=\frac{2}{3} x=-\frac{5}{2}$$

Чекори за користење на формулата за квадратна равенка

Сите равенки што ја имаат формата ax^{2}+bx+c=0 може да се решат со формулата за квадратна равенка: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Формулата за квадратна равенка дава две решенија, едно кога ± е собирање, а друго кога е одземање.

$$6x^{2}+11x-10=0$$

Оваа равенка е во стандардна форма: ax^{2}+bx+c=0. Ставете 6 за a, 11 за b и -10 за c во формулата за квадратна равенка \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-11±\sqrt{11^{2}-4\times 6\left(-10\right)}}{2\times 6}$$

Квадрат од 11.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-4\times 6\left(-10\right)}}{2\times 6}$$

Множење на -4 со 6.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-24\left(-10\right)}}{2\times 6}$$

Множење на -24 со -10.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121+240}}{2\times 6}$$

Собирање на 121 и 240.

$$x=\frac{-11±\sqrt{361}}{2\times 6}$$

Вадење квадратен корен од 361.

$$x=\frac{-11±19}{2\times 6}$$

Множење на 2 со 6.

$$x=\frac{-11±19}{12}$$

Сега решете ја равенката x=\frac{-11±19}{12} кога ± ќе биде плус. Собирање на -11 и 19.

$$x=\frac{8}{12}$$

Намалете ја дропката \frac{8}{12} до најниските услови со извлекување и откажување на 4.

$$x=\frac{2}{3}$$

Сега решете ја равенката x=\frac{-11±19}{12} кога ± ќе биде минус. Одземање на 19 од -11.

$$x=-\frac{30}{12}$$

Намалете ја дропката \frac{-30}{12} до најниските услови со извлекување и откажување на 6.

$$x=-\frac{5}{2}$$

Равенката сега е решена.

$$x=\frac{2}{3} x=-\frac{5}{2}$$

Чекори за пополнување на квадратот

Квадратните равенки како оваа може да се решат со пополнување на квадратот. За да го пополните, равенката прво мора да биде во формата x^{2}+bx=c.

$$6x^{2}+11x-10=0$$

Додавање на 10 на двете страни на равенката.

$$6x^{2}+11x-10-\left(-10\right)=-\left(-10\right)$$

Ако одземете -10 од истиот број, ќе остане 0.

$$6x^{2}+11x=-\left(-10\right)$$

Одземање на -10 од 0.

$$6x^{2}+11x=10$$

Поделете ги двете страни со 6.

$$\frac{6x^{2}+11x}{6}=\frac{10}{6}$$

Ако поделите со 6, ќе се врати множењето со 6.

$$x^{2}+\frac{11}{6}x=\frac{10}{6}$$

Намалете ја дропката \frac{10}{6} до најниските услови со извлекување и откажување на 2.

$$x^{2}+\frac{11}{6}x=\frac{5}{3}$$

Поделете го \frac{11}{6}, коефициентот на членот x, со 2 за да добиете \frac{11}{12}. Потоа додајте го квадратот од \frac{11}{12} на двете страни од равенката. Овој чекор ќе ја направи левата страна на равенката совршен квадрат.

$$x^{2}+\frac{11}{6}x+\left(\frac{11}{12}\right)^{2}=\frac{5}{3}+\left(\frac{11}{12}\right)^{2}$$

Кренете \frac{11}{12} на квадрат со кревање и на броителот и на именителот на дропката на квадрат.

$$x^{2}+\frac{11}{6}x+\frac{121}{144}=\frac{5}{3}+\frac{121}{144}$$

Соберете ги \frac{5}{3} и \frac{121}{144} со наоѓање на заедничкиот именител и собирање на броителите. Потоа намалете ја дропката на најмалите членови ако е можно.

$$x^{2}+\frac{11}{6}x+\frac{121}{144}=\frac{361}{144}$$

Фактор x^{2}+\frac{11}{6}x+\frac{121}{144}. Генерално, кога x^{2}+bx+c е совршен квадрат, може секогаш да се факторира како \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{11}{12}\right)^{2}=\frac{361}{144}$$

Извадете квадратен корен од двете страни на равенката.

$$\sqrt{\left(x+\frac{11}{12}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{361}{144}}$$

Поедноставување.

$$x+\frac{11}{12}=\frac{19}{12} x+\frac{11}{12}=-\frac{19}{12}$$

Одземање на \frac{11}{12} од двете страни на равенката.

$$x=\frac{2}{3} x=-\frac{5}{2}$$