Решете 54(1+x)(1+x)=1215

$$54(1+x)(1+x)=1215$$

Реши за x

$$x=\frac{3\sqrt{10}}{2}-1\approx 3,74341649$$

$$x=-\frac{3\sqrt{10}}{2}-1\approx -5,74341649$$

Чекори за користење на формулата за квадратна равенка

Помножете 1+x и 1+x за да добиете \left(1+x\right)^{2}.

$$54\left(1+x\right)^{2}=1215$$

Користете ја биномната теорема \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} за проширување на \left(1+x\right)^{2}.

$$54\left(1+2x+x^{2}\right)=1215$$

Користете го дистрибутивното својство за да помножите 54 со 1+2x+x^{2}.

$$54+108x+54x^{2}=1215$$

Одземете 1215 од двете страни.

$$54+108x+54x^{2}-1215=0$$

Одземете 1215 од 54 за да добиете -1161.

$$-1161+108x+54x^{2}=0$$

Сите равенки што ја имаат формата ax^{2}+bx+c=0 може да се решат со формулата за квадратна равенка: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Формулата за квадратна равенка дава две решенија, едно кога ± е собирање, а друго кога е одземање.

$$54x^{2}+108x-1161=0$$

Оваа равенка е во стандардна форма: ax^{2}+bx+c=0. Ставете 54 за a, 108 за b и -1161 за c во формулата за квадратна равенка \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-108±\sqrt{108^{2}-4\times 54\left(-1161\right)}}{2\times 54}$$

Квадрат од 108.

$$x=\frac{-108±\sqrt{11664-4\times 54\left(-1161\right)}}{2\times 54}$$

Множење на -4 со 54.

$$x=\frac{-108±\sqrt{11664-216\left(-1161\right)}}{2\times 54}$$

Множење на -216 со -1161.

$$x=\frac{-108±\sqrt{11664+250776}}{2\times 54}$$

Собирање на 11664 и 250776.

$$x=\frac{-108±\sqrt{262440}}{2\times 54}$$

Вадење квадратен корен од 262440.

$$x=\frac{-108±162\sqrt{10}}{2\times 54}$$

Множење на 2 со 54.

$$x=\frac{-108±162\sqrt{10}}{108}$$

Сега решете ја равенката x=\frac{-108±162\sqrt{10}}{108} кога ± ќе биде плус. Собирање на -108 и 162\sqrt{10}.

$$x=\frac{162\sqrt{10}-108}{108}$$

Делење на -108+162\sqrt{10} со 108.

$$x=\frac{3\sqrt{10}}{2}-1$$

Сега решете ја равенката x=\frac{-108±162\sqrt{10}}{108} кога ± ќе биде минус. Одземање на 162\sqrt{10} од -108.

$$x=\frac{-162\sqrt{10}-108}{108}$$

Делење на -108-162\sqrt{10} со 108.

$$x=-\frac{3\sqrt{10}}{2}-1$$

Равенката сега е решена.

$$x=\frac{3\sqrt{10}}{2}-1 x=-\frac{3\sqrt{10}}{2}-1$$

Чекори за пополнување на квадратот

Помножете 1+x и 1+x за да добиете \left(1+x\right)^{2}.

$$54\left(1+x\right)^{2}=1215$$

Користете ја биномната теорема \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} за проширување на \left(1+x\right)^{2}.

$$54\left(1+2x+x^{2}\right)=1215$$

Користете го дистрибутивното својство за да помножите 54 со 1+2x+x^{2}.

$$54+108x+54x^{2}=1215$$

Одземете 54 од двете страни.

$$108x+54x^{2}=1215-54$$

Одземете 54 од 1215 за да добиете 1161.

$$108x+54x^{2}=1161$$

Квадратните равенки како оваа може да се решат со пополнување на квадратот. За да го пополните, равенката прво мора да биде во формата x^{2}+bx=c.

$$54x^{2}+108x=1161$$

Поделете ги двете страни со 54.

$$\frac{54x^{2}+108x}{54}=\frac{1161}{54}$$

Ако поделите со 54, ќе се врати множењето со 54.

$$x^{2}+\frac{108}{54}x=\frac{1161}{54}$$

Делење на 108 со 54.

$$x^{2}+2x=\frac{1161}{54}$$

Намалете ја дропката \frac{1161}{54} до најниските услови со извлекување и откажување на 27.

$$x^{2}+2x=\frac{43}{2}$$

Поделете го 2, коефициентот на членот x, со 2 за да добиете 1. Потоа додајте го квадратот од 1 на двете страни од равенката. Овој чекор ќе ја направи левата страна на равенката совршен квадрат.

$$x^{2}+2x+1^{2}=\frac{43}{2}+1^{2}$$

Квадрат од 1.

$$x^{2}+2x+1=\frac{43}{2}+1$$

Собирање на \frac{43}{2} и 1.

$$x^{2}+2x+1=\frac{45}{2}$$

Фактор x^{2}+2x+1. Генерално, кога x^{2}+bx+c е совршен квадрат, може секогаш да се факторира како \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+1\right)^{2}=\frac{45}{2}$$

Извадете квадратен корен од двете страни на равенката.

$$\sqrt{\left(x+1\right)^{2}}=\sqrt{\frac{45}{2}}$$

Поедноставување.

$$x+1=\frac{3\sqrt{10}}{2} x+1=-\frac{3\sqrt{10}}{2}$$

Одземање на 1 од двете страни на равенката.

$$x=\frac{3\sqrt{10}}{2}-1 x=-\frac{3\sqrt{10}}{2}-1$$