Решете 5x^2-7x=24

$$5 x ^ { 2 } - 7 x = 24$$

Реши за x

$$x = -\frac{8}{5} = -1\frac{3}{5} = -1,6$$

$$x=3$$

Чекори за употреба на факторирање со групирање

Одземете 24 од двете страни.

$$5x^{2}-7x-24=0$$

За да ја решите равенката, факторирајте ја левата страна со групирање. Прво, левата страна треба да се препише како 5x^{2}+ax+bx-24. За да ги најдете a и b, поставете систем за решавање.

$$a+b=-7 ab=5\left(-24\right)=-120$$

Бидејќи ab е негативно, a и b имаат спротивни знаци. Бидејќи a+b е негативно, негативниот број има поголема апсолутна вредност од позитивниот. Наведете ги сите парови цели броеви што даваат производ -120.

$$1,-120 2,-60 3,-40 4,-30 5,-24 6,-20 8,-15 10,-12$$

Пресметајте го збирот за секој пар.

$$1-120=-119 2-60=-58 3-40=-37 4-30=-26 5-24=-19 6-20=-14 8-15=-7 10-12=-2$$

Решението е парот што дава збир -7.

$$a=-15 b=8$$

Препиши го 5x^{2}-7x-24 како \left(5x^{2}-15x\right)+\left(8x-24\right).

$$\left(5x^{2}-15x\right)+\left(8x-24\right)$$

Исклучете го факторот 5x во првата група и 8 во втората група.

$$5x\left(x-3\right)+8\left(x-3\right)$$

Факторирај го заедничкиот термин x-3 со помош на дистрибутивно својство.

$$\left(x-3\right)\left(5x+8\right)$$

За да најдете решенија за равенката, решете ги x-3=0 и 5x+8=0.

$$x=3 x=-\frac{8}{5}$$

Чекори за користење на формулата за квадратна равенка

Сите равенки што ја имаат формата ax^{2}+bx+c=0 може да се решат со формулата за квадратна равенка: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Формулата за квадратна равенка дава две решенија, едно кога ± е собирање, а друго кога е одземање.

$$5x^{2}-7x=24$$

Одземање на 24 од двете страни на равенката.

$$5x^{2}-7x-24=24-24$$

Ако одземете 24 од истиот број, ќе остане 0.

$$5x^{2}-7x-24=0$$

Оваа равенка е во стандардна форма: ax^{2}+bx+c=0. Ставете 5 за a, -7 за b и -24 за c во формулата за квадратна равенка \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{\left(-7\right)^{2}-4\times 5\left(-24\right)}}{2\times 5}$$

Квадрат од -7.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-4\times 5\left(-24\right)}}{2\times 5}$$

Множење на -4 со 5.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-20\left(-24\right)}}{2\times 5}$$

Множење на -20 со -24.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49+480}}{2\times 5}$$

Собирање на 49 и 480.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{529}}{2\times 5}$$

Вадење квадратен корен од 529.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±23}{2\times 5}$$

Спротивно на -7 е 7.

$$x=\frac{7±23}{2\times 5}$$

Множење на 2 со 5.

$$x=\frac{7±23}{10}$$

Сега решете ја равенката x=\frac{7±23}{10} кога ± ќе биде плус. Собирање на 7 и 23.

$$x=\frac{30}{10}$$

Делење на 30 со 10.

$$x=3$$

Сега решете ја равенката x=\frac{7±23}{10} кога ± ќе биде минус. Одземање на 23 од 7.

$$x=-\frac{16}{10}$$

Намалете ја дропката \frac{-16}{10} до најниските услови со извлекување и откажување на 2.

$$x=-\frac{8}{5}$$

Равенката сега е решена.

$$x=3 x=-\frac{8}{5}$$

Чекори за пополнување на квадратот

Квадратните равенки како оваа може да се решат со пополнување на квадратот. За да го пополните, равенката прво мора да биде во формата x^{2}+bx=c.

$$5x^{2}-7x=24$$

Поделете ги двете страни со 5.

$$\frac{5x^{2}-7x}{5}=\frac{24}{5}$$

Ако поделите со 5, ќе се врати множењето со 5.

$$x^{2}-\frac{7}{5}x=\frac{24}{5}$$

Поделете го -\frac{7}{5}, коефициентот на членот x, со 2 за да добиете -\frac{7}{10}. Потоа додајте го квадратот од -\frac{7}{10} на двете страни од равенката. Овој чекор ќе ја направи левата страна на равенката совршен квадрат.

$$x^{2}-\frac{7}{5}x+\left(-\frac{7}{10}\right)^{2}=\frac{24}{5}+\left(-\frac{7}{10}\right)^{2}$$

Кренете -\frac{7}{10} на квадрат со кревање и на броителот и на именителот на дропката на квадрат.

$$x^{2}-\frac{7}{5}x+\frac{49}{100}=\frac{24}{5}+\frac{49}{100}$$

Соберете ги \frac{24}{5} и \frac{49}{100} со наоѓање на заедничкиот именител и собирање на броителите. Потоа намалете ја дропката на најмалите членови ако е можно.

$$x^{2}-\frac{7}{5}x+\frac{49}{100}=\frac{529}{100}$$

Фактор x^{2}-\frac{7}{5}x+\frac{49}{100}. Генерално, кога x^{2}+bx+c е совршен квадрат, може секогаш да се факторира како \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{7}{10}\right)^{2}=\frac{529}{100}$$

Извадете квадратен корен од двете страни на равенката.

$$\sqrt{\left(x-\frac{7}{10}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{529}{100}}$$

Поедноставување.

$$x-\frac{7}{10}=\frac{23}{10} x-\frac{7}{10}=-\frac{23}{10}$$

Додавање на \frac{7}{10} на двете страни на равенката.

$$x=3 x=-\frac{8}{5}$$