Решете 5x^2-4x-1=0

$$5 x ^ { 2 } - 4 x - 1 = 0$$

Реши за x

$$x=-\frac{1}{5}=-0,2$$

$$x=1$$

Чекори за употреба на факторирање со групирање

За да ја решите равенката, факторирајте ја левата страна со групирање. Прво, левата страна треба да се препише како 5x^{2}+ax+bx-1. За да ги најдете a и b, поставете систем за решавање.

$$a+b=-4 ab=5\left(-1\right)=-5$$

Бидејќи ab е негативно, a и b имаат спротивни знаци. Бидејќи a+b е негативно, негативниот број има поголема апсолутна вредност од позитивниот. Единствениот таков пар е решението на системот.

$$a=-5 b=1$$

Препиши го 5x^{2}-4x-1 како \left(5x^{2}-5x\right)+\left(x-1\right).

$$\left(5x^{2}-5x\right)+\left(x-1\right)$$

Факторирај го 5x во 5x^{2}-5x.

$$5x\left(x-1\right)+x-1$$

Факторирај го заедничкиот термин x-1 со помош на дистрибутивно својство.

$$\left(x-1\right)\left(5x+1\right)$$

За да најдете решенија за равенката, решете ги x-1=0 и 5x+1=0.

$$x=1 x=-\frac{1}{5}$$

Чекори за користење на формулата за квадратна равенка

Сите равенки што ја имаат формата ax^{2}+bx+c=0 може да се решат со формулата за квадратна равенка: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Формулата за квадратна равенка дава две решенија, едно кога ± е собирање, а друго кога е одземање.

$$5x^{2}-4x-1=0$$

Оваа равенка е во стандардна форма: ax^{2}+bx+c=0. Ставете 5 за a, -4 за b и -1 за c во формулата за квадратна равенка \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\times 5\left(-1\right)}}{2\times 5}$$

Квадрат од -4.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-4\times 5\left(-1\right)}}{2\times 5}$$

Множење на -4 со 5.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-20\left(-1\right)}}{2\times 5}$$

Множење на -20 со -1.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16+20}}{2\times 5}$$

Собирање на 16 и 20.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{36}}{2\times 5}$$

Вадење квадратен корен од 36.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±6}{2\times 5}$$

Спротивно на -4 е 4.

$$x=\frac{4±6}{2\times 5}$$

Множење на 2 со 5.

$$x=\frac{4±6}{10}$$

Сега решете ја равенката x=\frac{4±6}{10} кога ± ќе биде плус. Собирање на 4 и 6.

$$x=\frac{10}{10}$$

Делење на 10 со 10.

$$x=1$$

Сега решете ја равенката x=\frac{4±6}{10} кога ± ќе биде минус. Одземање на 6 од 4.

$$x=-\frac{2}{10}$$

Намалете ја дропката \frac{-2}{10} до најниските услови со извлекување и откажување на 2.

$$x=-\frac{1}{5}$$

Равенката сега е решена.

$$x=1 x=-\frac{1}{5}$$

Чекори за пополнување на квадратот

Квадратните равенки како оваа може да се решат со пополнување на квадратот. За да го пополните, равенката прво мора да биде во формата x^{2}+bx=c.

$$5x^{2}-4x-1=0$$

Додавање на 1 на двете страни на равенката.

$$5x^{2}-4x-1-\left(-1\right)=-\left(-1\right)$$

Ако одземете -1 од истиот број, ќе остане 0.

$$5x^{2}-4x=-\left(-1\right)$$

Одземање на -1 од 0.

$$5x^{2}-4x=1$$

Поделете ги двете страни со 5.

$$\frac{5x^{2}-4x}{5}=\frac{1}{5}$$

Ако поделите со 5, ќе се врати множењето со 5.

$$x^{2}-\frac{4}{5}x=\frac{1}{5}$$

Поделете го -\frac{4}{5}, коефициентот на членот x, со 2 за да добиете -\frac{2}{5}. Потоа додајте го квадратот од -\frac{2}{5} на двете страни од равенката. Овој чекор ќе ја направи левата страна на равенката совршен квадрат.

$$x^{2}-\frac{4}{5}x+\left(-\frac{2}{5}\right)^{2}=\frac{1}{5}+\left(-\frac{2}{5}\right)^{2}$$

Кренете -\frac{2}{5} на квадрат со кревање и на броителот и на именителот на дропката на квадрат.

$$x^{2}-\frac{4}{5}x+\frac{4}{25}=\frac{1}{5}+\frac{4}{25}$$

Соберете ги \frac{1}{5} и \frac{4}{25} со наоѓање на заедничкиот именител и собирање на броителите. Потоа намалете ја дропката на најмалите членови ако е можно.

$$x^{2}-\frac{4}{5}x+\frac{4}{25}=\frac{9}{25}$$

Фактор x^{2}-\frac{4}{5}x+\frac{4}{25}. Генерално, кога x^{2}+bx+c е совршен квадрат, може секогаш да се факторира како \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{2}{5}\right)^{2}=\frac{9}{25}$$

Извадете квадратен корен од двете страни на равенката.

$$\sqrt{\left(x-\frac{2}{5}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{25}}$$

Поедноставување.

$$x-\frac{2}{5}=\frac{3}{5} x-\frac{2}{5}=-\frac{3}{5}$$

Додавање на \frac{2}{5} на двете страни на равенката.

$$x=1 x=-\frac{1}{5}$$