Решете 5x^2-2x-16=0

$$5 x ^ { 2 } - 2 x - 16 = 0$$

Реши за x

$$x = -\frac{8}{5} = -1\frac{3}{5} = -1,6$$

$$x=2$$

Чекори за употреба на факторирање со групирање

За да ја решите равенката, факторирајте ја левата страна со групирање. Прво, левата страна треба да се препише како 5x^{2}+ax+bx-16. За да ги најдете a и b, поставете систем за решавање.

$$a+b=-2 ab=5\left(-16\right)=-80$$

Бидејќи ab е негативно, a и b имаат спротивни знаци. Бидејќи a+b е негативно, негативниот број има поголема апсолутна вредност од позитивниот. Наведете ги сите парови цели броеви што даваат производ -80.

$$1,-80 2,-40 4,-20 5,-16 8,-10$$

Пресметајте го збирот за секој пар.

$$1-80=-79 2-40=-38 4-20=-16 5-16=-11 8-10=-2$$

Решението е парот што дава збир -2.

$$a=-10 b=8$$

Препиши го 5x^{2}-2x-16 како \left(5x^{2}-10x\right)+\left(8x-16\right).

$$\left(5x^{2}-10x\right)+\left(8x-16\right)$$

Исклучете го факторот 5x во првата група и 8 во втората група.

$$5x\left(x-2\right)+8\left(x-2\right)$$

Факторирај го заедничкиот термин x-2 со помош на дистрибутивно својство.

$$\left(x-2\right)\left(5x+8\right)$$

За да најдете решенија за равенката, решете ги x-2=0 и 5x+8=0.

$$x=2 x=-\frac{8}{5}$$

Чекори за користење на формулата за квадратна равенка

Сите равенки што ја имаат формата ax^{2}+bx+c=0 може да се решат со формулата за квадратна равенка: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Формулата за квадратна равенка дава две решенија, едно кога ± е собирање, а друго кога е одземање.

$$5x^{2}-2x-16=0$$

Оваа равенка е во стандардна форма: ax^{2}+bx+c=0. Ставете 5 за a, -2 за b и -16 за c во формулата за квадратна равенка \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 5\left(-16\right)}}{2\times 5}$$

Квадрат од -2.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\times 5\left(-16\right)}}{2\times 5}$$

Множење на -4 со 5.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-20\left(-16\right)}}{2\times 5}$$

Множење на -20 со -16.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4+320}}{2\times 5}$$

Собирање на 4 и 320.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{324}}{2\times 5}$$

Вадење квадратен корен од 324.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±18}{2\times 5}$$

Спротивно на -2 е 2.

$$x=\frac{2±18}{2\times 5}$$

Множење на 2 со 5.

$$x=\frac{2±18}{10}$$

Сега решете ја равенката x=\frac{2±18}{10} кога ± ќе биде плус. Собирање на 2 и 18.

$$x=\frac{20}{10}$$

Делење на 20 со 10.

$$x=2$$

Сега решете ја равенката x=\frac{2±18}{10} кога ± ќе биде минус. Одземање на 18 од 2.

$$x=-\frac{16}{10}$$

Намалете ја дропката \frac{-16}{10} до најниските услови со извлекување и откажување на 2.

$$x=-\frac{8}{5}$$

Равенката сега е решена.

$$x=2 x=-\frac{8}{5}$$

Чекори за пополнување на квадратот

Квадратните равенки како оваа може да се решат со пополнување на квадратот. За да го пополните, равенката прво мора да биде во формата x^{2}+bx=c.

$$5x^{2}-2x-16=0$$

Додавање на 16 на двете страни на равенката.

$$5x^{2}-2x-16-\left(-16\right)=-\left(-16\right)$$

Ако одземете -16 од истиот број, ќе остане 0.

$$5x^{2}-2x=-\left(-16\right)$$

Одземање на -16 од 0.

$$5x^{2}-2x=16$$

Поделете ги двете страни со 5.

$$\frac{5x^{2}-2x}{5}=\frac{16}{5}$$

Ако поделите со 5, ќе се врати множењето со 5.

$$x^{2}-\frac{2}{5}x=\frac{16}{5}$$

Поделете го -\frac{2}{5}, коефициентот на членот x, со 2 за да добиете -\frac{1}{5}. Потоа додајте го квадратот од -\frac{1}{5} на двете страни од равенката. Овој чекор ќе ја направи левата страна на равенката совршен квадрат.

$$x^{2}-\frac{2}{5}x+\left(-\frac{1}{5}\right)^{2}=\frac{16}{5}+\left(-\frac{1}{5}\right)^{2}$$

Кренете -\frac{1}{5} на квадрат со кревање и на броителот и на именителот на дропката на квадрат.

$$x^{2}-\frac{2}{5}x+\frac{1}{25}=\frac{16}{5}+\frac{1}{25}$$

Соберете ги \frac{16}{5} и \frac{1}{25} со наоѓање на заедничкиот именител и собирање на броителите. Потоа намалете ја дропката на најмалите членови ако е можно.

$$x^{2}-\frac{2}{5}x+\frac{1}{25}=\frac{81}{25}$$

Фактор x^{2}-\frac{2}{5}x+\frac{1}{25}. Генерално, кога x^{2}+bx+c е совршен квадрат, може секогаш да се факторира како \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{5}\right)^{2}=\frac{81}{25}$$

Извадете квадратен корен од двете страни на равенката.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{5}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{81}{25}}$$

Поедноставување.

$$x-\frac{1}{5}=\frac{9}{5} x-\frac{1}{5}=-\frac{9}{5}$$

Додавање на \frac{1}{5} на двете страни на равенката.

$$x=2 x=-\frac{8}{5}$$