Решете 5x^2+70x-75=0

$$5 x ^ { 2 } + 70 x - 75 = 0$$

Реши за x

$$x=-15$$

$$x=1$$

Чекори за употреба на факторирање со групирање

Поделете ги двете страни со 5.

$$x^{2}+14x-15=0$$

За да ја решите равенката, факторирајте ја левата страна со групирање. Прво, левата страна треба да се препише како x^{2}+ax+bx-15. За да ги најдете a и b, поставете систем за решавање.

$$a+b=14 ab=1\left(-15\right)=-15$$

Бидејќи ab е негативно, a и b имаат спротивни знаци. Бидејќи a+b е позитивно, позитивниот број има поголема апсолутна вредност од негативниот. Наведете ги сите парови цели броеви што даваат производ -15.

$$-1,15 -3,5$$

Пресметајте го збирот за секој пар.

$$-1+15=14 -3+5=2$$

Решението е парот што дава збир 14.

$$a=-1 b=15$$

Препиши го x^{2}+14x-15 како \left(x^{2}-x\right)+\left(15x-15\right).

$$\left(x^{2}-x\right)+\left(15x-15\right)$$

Исклучете го факторот x во првата група и 15 во втората група.

$$x\left(x-1\right)+15\left(x-1\right)$$

Факторирај го заедничкиот термин x-1 со помош на дистрибутивно својство.

$$\left(x-1\right)\left(x+15\right)$$

За да најдете решенија за равенката, решете ги x-1=0 и x+15=0.

$$x=1 x=-15$$

Чекори за користење на формулата за квадратна равенка

Сите равенки што ја имаат формата ax^{2}+bx+c=0 може да се решат со формулата за квадратна равенка: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Формулата за квадратна равенка дава две решенија, едно кога ± е собирање, а друго кога е одземање.

$$5x^{2}+70x-75=0$$

Оваа равенка е во стандардна форма: ax^{2}+bx+c=0. Ставете 5 за a, 70 за b и -75 за c во формулата за квадратна равенка \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-70±\sqrt{70^{2}-4\times 5\left(-75\right)}}{2\times 5}$$

Квадрат од 70.

$$x=\frac{-70±\sqrt{4900-4\times 5\left(-75\right)}}{2\times 5}$$

Множење на -4 со 5.

$$x=\frac{-70±\sqrt{4900-20\left(-75\right)}}{2\times 5}$$

Множење на -20 со -75.

$$x=\frac{-70±\sqrt{4900+1500}}{2\times 5}$$

Собирање на 4900 и 1500.

$$x=\frac{-70±\sqrt{6400}}{2\times 5}$$

Вадење квадратен корен од 6400.

$$x=\frac{-70±80}{2\times 5}$$

Множење на 2 со 5.

$$x=\frac{-70±80}{10}$$

Сега решете ја равенката x=\frac{-70±80}{10} кога ± ќе биде плус. Собирање на -70 и 80.

$$x=\frac{10}{10}$$

Делење на 10 со 10.

$$x=1$$

Сега решете ја равенката x=\frac{-70±80}{10} кога ± ќе биде минус. Одземање на 80 од -70.

$$x=-\frac{150}{10}$$

Делење на -150 со 10.

$$x=-15$$

Равенката сега е решена.

$$x=1 x=-15$$

Чекори за пополнување на квадратот

Квадратните равенки како оваа може да се решат со пополнување на квадратот. За да го пополните, равенката прво мора да биде во формата x^{2}+bx=c.

$$5x^{2}+70x-75=0$$

Додавање на 75 на двете страни на равенката.

$$5x^{2}+70x-75-\left(-75\right)=-\left(-75\right)$$

Ако одземете -75 од истиот број, ќе остане 0.

$$5x^{2}+70x=-\left(-75\right)$$

Одземање на -75 од 0.

$$5x^{2}+70x=75$$

Поделете ги двете страни со 5.

$$\frac{5x^{2}+70x}{5}=\frac{75}{5}$$

Ако поделите со 5, ќе се врати множењето со 5.

$$x^{2}+\frac{70}{5}x=\frac{75}{5}$$

Делење на 70 со 5.

$$x^{2}+14x=\frac{75}{5}$$

Делење на 75 со 5.

$$x^{2}+14x=15$$

Поделете го 14, коефициентот на членот x, со 2 за да добиете 7. Потоа додајте го квадратот од 7 на двете страни од равенката. Овој чекор ќе ја направи левата страна на равенката совршен квадрат.

$$x^{2}+14x+7^{2}=15+7^{2}$$

Квадрат од 7.

$$x^{2}+14x+49=15+49$$

Собирање на 15 и 49.

$$x^{2}+14x+49=64$$

Фактор x^{2}+14x+49. Генерално, кога x^{2}+bx+c е совршен квадрат, може секогаш да се факторира како \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+7\right)^{2}=64$$

Извадете квадратен корен од двете страни на равенката.

$$\sqrt{\left(x+7\right)^{2}}=\sqrt{64}$$

Поедноставување.

$$x+7=8 x+7=-8$$

Одземање на 7 од двете страни на равенката.

$$x=1 x=-15$$