Решете 5x^2+3x+1=0

$$5 x ^ { 2 } + 3 x + 1 = 0$$

Реши за x (complex solution)

$$x=\frac{-3+\sqrt{11}i}{10}\approx -0,3+0,331662479i$$

$$x=\frac{-\sqrt{11}i-3}{10}\approx -0,3-0,331662479i$$

Чекори за користење на формулата за квадратна равенка

Сите равенки што ја имаат формата ax^{2}+bx+c=0 може да се решат со формулата за квадратна равенка: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Формулата за квадратна равенка дава две решенија, едно кога ± е собирање, а друго кога е одземање.

$$5x^{2}+3x+1=0$$

Оваа равенка е во стандардна форма: ax^{2}+bx+c=0. Ставете 5 за a, 3 за b и 1 за c во формулата за квадратна равенка \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\times 5}}{2\times 5}$$

Квадрат од 3.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-4\times 5}}{2\times 5}$$

Множење на -4 со 5.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-20}}{2\times 5}$$

Собирање на 9 и -20.

$$x=\frac{-3±\sqrt{-11}}{2\times 5}$$

Вадење квадратен корен од -11.

$$x=\frac{-3±\sqrt{11}i}{2\times 5}$$

Множење на 2 со 5.

$$x=\frac{-3±\sqrt{11}i}{10}$$

Сега решете ја равенката x=\frac{-3±\sqrt{11}i}{10} кога ± ќе биде плус. Собирање на -3 и i\sqrt{11}.

$$x=\frac{-3+\sqrt{11}i}{10}$$

Сега решете ја равенката x=\frac{-3±\sqrt{11}i}{10} кога ± ќе биде минус. Одземање на i\sqrt{11} од -3.

$$x=\frac{-\sqrt{11}i-3}{10}$$

Равенката сега е решена.

$$x=\frac{-3+\sqrt{11}i}{10} x=\frac{-\sqrt{11}i-3}{10}$$

Чекори за пополнување на квадратот

Квадратните равенки како оваа може да се решат со пополнување на квадратот. За да го пополните, равенката прво мора да биде во формата x^{2}+bx=c.

$$5x^{2}+3x+1=0$$

Одземање на 1 од двете страни на равенката.

$$5x^{2}+3x+1-1=-1$$

Ако одземете 1 од истиот број, ќе остане 0.

$$5x^{2}+3x=-1$$

Поделете ги двете страни со 5.

$$\frac{5x^{2}+3x}{5}=-\frac{1}{5}$$

Ако поделите со 5, ќе се врати множењето со 5.

$$x^{2}+\frac{3}{5}x=-\frac{1}{5}$$

Поделете го \frac{3}{5}, коефициентот на членот x, со 2 за да добиете \frac{3}{10}. Потоа додајте го квадратот од \frac{3}{10} на двете страни од равенката. Овој чекор ќе ја направи левата страна на равенката совршен квадрат.

$$x^{2}+\frac{3}{5}x+\left(\frac{3}{10}\right)^{2}=-\frac{1}{5}+\left(\frac{3}{10}\right)^{2}$$

Кренете \frac{3}{10} на квадрат со кревање и на броителот и на именителот на дропката на квадрат.

$$x^{2}+\frac{3}{5}x+\frac{9}{100}=-\frac{1}{5}+\frac{9}{100}$$

Соберете ги -\frac{1}{5} и \frac{9}{100} со наоѓање на заедничкиот именител и собирање на броителите. Потоа намалете ја дропката на најмалите членови ако е можно.

$$x^{2}+\frac{3}{5}x+\frac{9}{100}=-\frac{11}{100}$$

Фактор x^{2}+\frac{3}{5}x+\frac{9}{100}. Генерално, кога x^{2}+bx+c е совршен квадрат, може секогаш да се факторира како \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{3}{10}\right)^{2}=-\frac{11}{100}$$

Извадете квадратен корен од двете страни на равенката.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{10}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{11}{100}}$$

Поедноставување.

$$x+\frac{3}{10}=\frac{\sqrt{11}i}{10} x+\frac{3}{10}=-\frac{\sqrt{11}i}{10}$$

Одземање на \frac{3}{10} од двете страни на равенката.

$$x=\frac{-3+\sqrt{11}i}{10} x=\frac{-\sqrt{11}i-3}{10}$$