Решете 5y^2-90y+54=0

$$5 { y }^{ 2 } -90y+54 = 0$$

Реши за y

$$y=\frac{3\sqrt{195}}{5}+9\approx 17,378544026$$

$$y=-\frac{3\sqrt{195}}{5}+9\approx 0,621455974$$

Чекори за користење на формулата за квадратна равенка

Сите равенки што ја имаат формата ax^{2}+bx+c=0 може да се решат со формулата за квадратна равенка: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Формулата за квадратна равенка дава две решенија, едно кога ± е собирање, а друго кога е одземање.

$$5y^{2}-90y+54=0$$

Оваа равенка е во стандардна форма: ax^{2}+bx+c=0. Ставете 5 за a, -90 за b и 54 за c во формулата за квадратна равенка \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-\left(-90\right)±\sqrt{\left(-90\right)^{2}-4\times 5\times 54}}{2\times 5}$$

Квадрат од -90.

$$y=\frac{-\left(-90\right)±\sqrt{8100-4\times 5\times 54}}{2\times 5}$$

Множење на -4 со 5.

$$y=\frac{-\left(-90\right)±\sqrt{8100-20\times 54}}{2\times 5}$$

Множење на -20 со 54.

$$y=\frac{-\left(-90\right)±\sqrt{8100-1080}}{2\times 5}$$

Собирање на 8100 и -1080.

$$y=\frac{-\left(-90\right)±\sqrt{7020}}{2\times 5}$$

Вадење квадратен корен од 7020.

$$y=\frac{-\left(-90\right)±6\sqrt{195}}{2\times 5}$$

Спротивно на -90 е 90.

$$y=\frac{90±6\sqrt{195}}{2\times 5}$$

Множење на 2 со 5.

$$y=\frac{90±6\sqrt{195}}{10}$$

Сега решете ја равенката y=\frac{90±6\sqrt{195}}{10} кога ± ќе биде плус. Собирање на 90 и 6\sqrt{195}.

$$y=\frac{6\sqrt{195}+90}{10}$$

Делење на 90+6\sqrt{195} со 10.

$$y=\frac{3\sqrt{195}}{5}+9$$

Сега решете ја равенката y=\frac{90±6\sqrt{195}}{10} кога ± ќе биде минус. Одземање на 6\sqrt{195} од 90.

$$y=\frac{90-6\sqrt{195}}{10}$$

Делење на 90-6\sqrt{195} со 10.

$$y=-\frac{3\sqrt{195}}{5}+9$$

Равенката сега е решена.

$$y=\frac{3\sqrt{195}}{5}+9 y=-\frac{3\sqrt{195}}{5}+9$$

Чекори за пополнување на квадратот

Квадратните равенки како оваа може да се решат со пополнување на квадратот. За да го пополните, равенката прво мора да биде во формата x^{2}+bx=c.

$$5y^{2}-90y+54=0$$

Одземање на 54 од двете страни на равенката.

$$5y^{2}-90y+54-54=-54$$

Ако одземете 54 од истиот број, ќе остане 0.

$$5y^{2}-90y=-54$$

Поделете ги двете страни со 5.

$$\frac{5y^{2}-90y}{5}=-\frac{54}{5}$$

Ако поделите со 5, ќе се врати множењето со 5.

$$y^{2}+\left(-\frac{90}{5}\right)y=-\frac{54}{5}$$

Делење на -90 со 5.

$$y^{2}-18y=-\frac{54}{5}$$

Поделете го -18, коефициентот на членот x, со 2 за да добиете -9. Потоа додајте го квадратот од -9 на двете страни од равенката. Овој чекор ќе ја направи левата страна на равенката совршен квадрат.

$$y^{2}-18y+\left(-9\right)^{2}=-\frac{54}{5}+\left(-9\right)^{2}$$

Квадрат од -9.

$$y^{2}-18y+81=-\frac{54}{5}+81$$

Собирање на -\frac{54}{5} и 81.

$$y^{2}-18y+81=\frac{351}{5}$$

Фактор y^{2}-18y+81. Генерално, кога x^{2}+bx+c е совршен квадрат, може секогаш да се факторира како \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(y-9\right)^{2}=\frac{351}{5}$$

Извадете квадратен корен од двете страни на равенката.

$$\sqrt{\left(y-9\right)^{2}}=\sqrt{\frac{351}{5}}$$

Поедноставување.

$$y-9=\frac{3\sqrt{195}}{5} y-9=-\frac{3\sqrt{195}}{5}$$

Додавање на 9 на двете страни на равенката.

$$y=\frac{3\sqrt{195}}{5}+9 y=-\frac{3\sqrt{195}}{5}+9$$