Решете 5x^2-x-2184=0

$$5 { x }^{ 2 } -x-2184=0$$

Реши за x

$$x = -\frac{104}{5} = -20\frac{4}{5} = -20,8$$

$$x=21$$

Чекори за употреба на факторирање со групирање

За да ја решите равенката, факторирајте ја левата страна со групирање. Прво, левата страна треба да се препише како 5x^{2}+ax+bx-2184. За да ги најдете a и b, поставете систем за решавање.

$$a+b=-1 ab=5\left(-2184\right)=-10920$$

Бидејќи ab е негативно, a и b имаат спротивни знаци. Бидејќи a+b е негативно, негативниот број има поголема апсолутна вредност од позитивниот. Наведете ги сите парови цели броеви што даваат производ -10920.

$$1,-10920 2,-5460 3,-3640 4,-2730 5,-2184 6,-1820 7,-1560 8,-1365 10,-1092 12,-910 13,-840 14,-780 15,-728 20,-546 21,-520 24,-455 26,-420 28,-390 30,-364 35,-312 39,-280 40,-273 42,-260 52,-210 56,-195 60,-182 65,-168 70,-156 78,-140 84,-130 91,-120 104,-105$$

Пресметајте го збирот за секој пар.

$$1-10920=-10919 2-5460=-5458 3-3640=-3637 4-2730=-2726 5-2184=-2179 6-1820=-1814 7-1560=-1553 8-1365=-1357 10-1092=-1082 12-910=-898 13-840=-827 14-780=-766 15-728=-713 20-546=-526 21-520=-499 24-455=-431 26-420=-394 28-390=-362 30-364=-334 35-312=-277 39-280=-241 40-273=-233 42-260=-218 52-210=-158 56-195=-139 60-182=-122 65-168=-103 70-156=-86 78-140=-62 84-130=-46 91-120=-29 104-105=-1$$

Решението е парот што дава збир -1.

$$a=-105 b=104$$

Препиши го 5x^{2}-x-2184 како \left(5x^{2}-105x\right)+\left(104x-2184\right).

$$\left(5x^{2}-105x\right)+\left(104x-2184\right)$$

Исклучете го факторот 5x во првата група и 104 во втората група.

$$5x\left(x-21\right)+104\left(x-21\right)$$

Факторирај го заедничкиот термин x-21 со помош на дистрибутивно својство.

$$\left(x-21\right)\left(5x+104\right)$$

За да најдете решенија за равенката, решете ги x-21=0 и 5x+104=0.

$$x=21 x=-\frac{104}{5}$$

Чекори за користење на формулата за квадратна равенка

Сите равенки што ја имаат формата ax^{2}+bx+c=0 може да се решат со формулата за квадратна равенка: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Формулата за квадратна равенка дава две решенија, едно кога ± е собирање, а друго кога е одземање.

$$5x^{2}-x-2184=0$$

Оваа равенка е во стандардна форма: ax^{2}+bx+c=0. Ставете 5 за a, -1 за b и -2184 за c во формулата за квадратна равенка \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\times 5\left(-2184\right)}}{2\times 5}$$

Множење на -4 со 5.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-20\left(-2184\right)}}{2\times 5}$$

Множење на -20 со -2184.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+43680}}{2\times 5}$$

Собирање на 1 и 43680.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{43681}}{2\times 5}$$

Вадење квадратен корен од 43681.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±209}{2\times 5}$$

Спротивно на -1 е 1.

$$x=\frac{1±209}{2\times 5}$$

Множење на 2 со 5.

$$x=\frac{1±209}{10}$$

Сега решете ја равенката x=\frac{1±209}{10} кога ± ќе биде плус. Собирање на 1 и 209.

$$x=\frac{210}{10}$$

Делење на 210 со 10.

$$x=21$$

Сега решете ја равенката x=\frac{1±209}{10} кога ± ќе биде минус. Одземање на 209 од 1.

$$x=-\frac{208}{10}$$

Намалете ја дропката \frac{-208}{10} до најниските услови со извлекување и откажување на 2.

$$x=-\frac{104}{5}$$

Равенката сега е решена.

$$x=21 x=-\frac{104}{5}$$

Чекори за пополнување на квадратот

Квадратните равенки како оваа може да се решат со пополнување на квадратот. За да го пополните, равенката прво мора да биде во формата x^{2}+bx=c.

$$5x^{2}-x-2184=0$$

Додавање на 2184 на двете страни на равенката.

$$5x^{2}-x-2184-\left(-2184\right)=-\left(-2184\right)$$

Ако одземете -2184 од истиот број, ќе остане 0.

$$5x^{2}-x=-\left(-2184\right)$$

Одземање на -2184 од 0.

$$5x^{2}-x=2184$$

Поделете ги двете страни со 5.

$$\frac{5x^{2}-x}{5}=\frac{2184}{5}$$

Ако поделите со 5, ќе се врати множењето со 5.

$$x^{2}-\frac{1}{5}x=\frac{2184}{5}$$

Поделете го -\frac{1}{5}, коефициентот на членот x, со 2 за да добиете -\frac{1}{10}. Потоа додајте го квадратот од -\frac{1}{10} на двете страни од равенката. Овој чекор ќе ја направи левата страна на равенката совршен квадрат.

$$x^{2}-\frac{1}{5}x+\left(-\frac{1}{10}\right)^{2}=\frac{2184}{5}+\left(-\frac{1}{10}\right)^{2}$$

Кренете -\frac{1}{10} на квадрат со кревање и на броителот и на именителот на дропката на квадрат.

$$x^{2}-\frac{1}{5}x+\frac{1}{100}=\frac{2184}{5}+\frac{1}{100}$$

Соберете ги \frac{2184}{5} и \frac{1}{100} со наоѓање на заедничкиот именител и собирање на броителите. Потоа намалете ја дропката на најмалите членови ако е можно.

$$x^{2}-\frac{1}{5}x+\frac{1}{100}=\frac{43681}{100}$$

Фактор x^{2}-\frac{1}{5}x+\frac{1}{100}. Генерално, кога x^{2}+bx+c е совршен квадрат, може секогаш да се факторира како \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{10}\right)^{2}=\frac{43681}{100}$$

Извадете квадратен корен од двете страни на равенката.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{10}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{43681}{100}}$$

Поедноставување.

$$x-\frac{1}{10}=\frac{209}{10} x-\frac{1}{10}=-\frac{209}{10}$$

Додавање на \frac{1}{10} на двете страни на равенката.

$$x=21 x=-\frac{104}{5}$$