Решете 5x^2-8x(2+14x)=108-x

$$5 { x }^{ 2 } -8x(2+14x)=108-x$$

Реши за x (complex solution)

$$x=\frac{-3\sqrt{5111}i-15}{214}\approx -0,070093458-1,0022139i$$

$$x=\frac{-15+3\sqrt{5111}i}{214}\approx -0,070093458+1,0022139i$$

Чекори за користење на формулата за квадратна равенка

Одземете 108 од двете страни.

$$5x^{2}-8x\left(2+14x\right)-108=-x$$

Додај x на двете страни.

$$5x^{2}-8x\left(2+14x\right)-108+x=0$$

Користете го дистрибутивното својство за да помножите -8x со 2+14x.

$$5x^{2}-16x-112x^{2}-108+x=0$$

Комбинирајте 5x^{2} и -112x^{2} за да добиете -107x^{2}.

$$-107x^{2}-16x-108+x=0$$

Комбинирајте -16x и x за да добиете -15x.

$$-107x^{2}-15x-108=0$$

Оваа равенка е во стандардна форма: ax^{2}+bx+c=0. Ставете -107 за a, -15 за b и -108 за c во формулата за квадратна равенка \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{\left(-15\right)^{2}-4\left(-107\right)\left(-108\right)}}{2\left(-107\right)}$$

Квадрат од -15.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225-4\left(-107\right)\left(-108\right)}}{2\left(-107\right)}$$

Множење на -4 со -107.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225+428\left(-108\right)}}{2\left(-107\right)}$$

Множење на 428 со -108.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225-46224}}{2\left(-107\right)}$$

Собирање на 225 и -46224.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{-45999}}{2\left(-107\right)}$$

Вадење квадратен корен од -45999.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±3\sqrt{5111}i}{2\left(-107\right)}$$

Спротивно на -15 е 15.

$$x=\frac{15±3\sqrt{5111}i}{2\left(-107\right)}$$

Множење на 2 со -107.

$$x=\frac{15±3\sqrt{5111}i}{-214}$$

Сега решете ја равенката x=\frac{15±3\sqrt{5111}i}{-214} кога ± ќе биде плус. Собирање на 15 и 3i\sqrt{5111}.

$$x=\frac{15+3\sqrt{5111}i}{-214}$$

Делење на 15+3i\sqrt{5111} со -214.

$$x=\frac{-3\sqrt{5111}i-15}{214}$$

Сега решете ја равенката x=\frac{15±3\sqrt{5111}i}{-214} кога ± ќе биде минус. Одземање на 3i\sqrt{5111} од 15.

$$x=\frac{-3\sqrt{5111}i+15}{-214}$$

Делење на 15-3i\sqrt{5111} со -214.

$$x=\frac{-15+3\sqrt{5111}i}{214}$$

Равенката сега е решена.

$$x=\frac{-3\sqrt{5111}i-15}{214} x=\frac{-15+3\sqrt{5111}i}{214}$$

Чекори за пополнување на квадратот

Додај x на двете страни.

$$5x^{2}-8x\left(2+14x\right)+x=108$$

Користете го дистрибутивното својство за да помножите -8x со 2+14x.

$$5x^{2}-16x-112x^{2}+x=108$$

Комбинирајте 5x^{2} и -112x^{2} за да добиете -107x^{2}.

$$-107x^{2}-16x+x=108$$

Комбинирајте -16x и x за да добиете -15x.

$$-107x^{2}-15x=108$$

Поделете ги двете страни со -107.

$$\frac{-107x^{2}-15x}{-107}=\frac{108}{-107}$$

Ако поделите со -107, ќе се врати множењето со -107.

$$x^{2}+\left(-\frac{15}{-107}\right)x=\frac{108}{-107}$$

Делење на -15 со -107.

$$x^{2}+\frac{15}{107}x=\frac{108}{-107}$$

Делење на 108 со -107.

$$x^{2}+\frac{15}{107}x=-\frac{108}{107}$$

Поделете го \frac{15}{107}, коефициентот на членот x, со 2 за да добиете \frac{15}{214}. Потоа додајте го квадратот од \frac{15}{214} на двете страни од равенката. Овој чекор ќе ја направи левата страна на равенката совршен квадрат.

$$x^{2}+\frac{15}{107}x+\left(\frac{15}{214}\right)^{2}=-\frac{108}{107}+\left(\frac{15}{214}\right)^{2}$$

Кренете \frac{15}{214} на квадрат со кревање и на броителот и на именителот на дропката на квадрат.

$$x^{2}+\frac{15}{107}x+\frac{225}{45796}=-\frac{108}{107}+\frac{225}{45796}$$

Соберете ги -\frac{108}{107} и \frac{225}{45796} со наоѓање на заедничкиот именител и собирање на броителите. Потоа намалете ја дропката на најмалите членови ако е можно.

$$x^{2}+\frac{15}{107}x+\frac{225}{45796}=-\frac{45999}{45796}$$

Фактор x^{2}+\frac{15}{107}x+\frac{225}{45796}. Генерално, кога x^{2}+bx+c е совршен квадрат, може секогаш да се факторира како \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{15}{214}\right)^{2}=-\frac{45999}{45796}$$

Извадете квадратен корен од двете страни на равенката.

$$\sqrt{\left(x+\frac{15}{214}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{45999}{45796}}$$

Поедноставување.

$$x+\frac{15}{214}=\frac{3\sqrt{5111}i}{214} x+\frac{15}{214}=-\frac{3\sqrt{5111}i}{214}$$

Одземање на \frac{15}{214} од двете страни на равенката.

$$x=\frac{-15+3\sqrt{5111}i}{214} x=\frac{-3\sqrt{5111}i-15}{214}$$