Решете 5x^2-29x-42=0

$$5 { x }^{ 2 } -29x-42=0$$

Реши за x

$$x = -\frac{6}{5} = -1\frac{1}{5} = -1,2$$

$$x=7$$

Чекори за употреба на факторирање со групирање

За да ја решите равенката, факторирајте ја левата страна со групирање. Прво, левата страна треба да се препише како 5x^{2}+ax+bx-42. За да ги најдете a и b, поставете систем за решавање.

$$a+b=-29 ab=5\left(-42\right)=-210$$

Бидејќи ab е негативно, a и b имаат спротивни знаци. Бидејќи a+b е негативно, негативниот број има поголема апсолутна вредност од позитивниот. Наведете ги сите парови цели броеви што даваат производ -210.

$$1,-210 2,-105 3,-70 5,-42 6,-35 7,-30 10,-21 14,-15$$

Пресметајте го збирот за секој пар.

$$1-210=-209 2-105=-103 3-70=-67 5-42=-37 6-35=-29 7-30=-23 10-21=-11 14-15=-1$$

Решението е парот што дава збир -29.

$$a=-35 b=6$$

Препиши го 5x^{2}-29x-42 како \left(5x^{2}-35x\right)+\left(6x-42\right).

$$\left(5x^{2}-35x\right)+\left(6x-42\right)$$

Исклучете го факторот 5x во првата група и 6 во втората група.

$$5x\left(x-7\right)+6\left(x-7\right)$$

Факторирај го заедничкиот термин x-7 со помош на дистрибутивно својство.

$$\left(x-7\right)\left(5x+6\right)$$

За да најдете решенија за равенката, решете ги x-7=0 и 5x+6=0.

$$x=7 x=-\frac{6}{5}$$

Чекори за користење на формулата за квадратна равенка

Сите равенки што ја имаат формата ax^{2}+bx+c=0 може да се решат со формулата за квадратна равенка: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Формулата за квадратна равенка дава две решенија, едно кога ± е собирање, а друго кога е одземање.

$$5x^{2}-29x-42=0$$

Оваа равенка е во стандардна форма: ax^{2}+bx+c=0. Ставете 5 за a, -29 за b и -42 за c во формулата за квадратна равенка \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-29\right)±\sqrt{\left(-29\right)^{2}-4\times 5\left(-42\right)}}{2\times 5}$$

Квадрат од -29.

$$x=\frac{-\left(-29\right)±\sqrt{841-4\times 5\left(-42\right)}}{2\times 5}$$

Множење на -4 со 5.

$$x=\frac{-\left(-29\right)±\sqrt{841-20\left(-42\right)}}{2\times 5}$$

Множење на -20 со -42.

$$x=\frac{-\left(-29\right)±\sqrt{841+840}}{2\times 5}$$

Собирање на 841 и 840.

$$x=\frac{-\left(-29\right)±\sqrt{1681}}{2\times 5}$$

Вадење квадратен корен од 1681.

$$x=\frac{-\left(-29\right)±41}{2\times 5}$$

Спротивно на -29 е 29.

$$x=\frac{29±41}{2\times 5}$$

Множење на 2 со 5.

$$x=\frac{29±41}{10}$$

Сега решете ја равенката x=\frac{29±41}{10} кога ± ќе биде плус. Собирање на 29 и 41.

$$x=\frac{70}{10}$$

Делење на 70 со 10.

$$x=7$$

Сега решете ја равенката x=\frac{29±41}{10} кога ± ќе биде минус. Одземање на 41 од 29.

$$x=-\frac{12}{10}$$

Намалете ја дропката \frac{-12}{10} до најниските услови со извлекување и откажување на 2.

$$x=-\frac{6}{5}$$

Равенката сега е решена.

$$x=7 x=-\frac{6}{5}$$

Чекори за пополнување на квадратот

Квадратните равенки како оваа може да се решат со пополнување на квадратот. За да го пополните, равенката прво мора да биде во формата x^{2}+bx=c.

$$5x^{2}-29x-42=0$$

Додавање на 42 на двете страни на равенката.

$$5x^{2}-29x-42-\left(-42\right)=-\left(-42\right)$$

Ако одземете -42 од истиот број, ќе остане 0.

$$5x^{2}-29x=-\left(-42\right)$$

Одземање на -42 од 0.

$$5x^{2}-29x=42$$

Поделете ги двете страни со 5.

$$\frac{5x^{2}-29x}{5}=\frac{42}{5}$$

Ако поделите со 5, ќе се врати множењето со 5.

$$x^{2}-\frac{29}{5}x=\frac{42}{5}$$

Поделете го -\frac{29}{5}, коефициентот на членот x, со 2 за да добиете -\frac{29}{10}. Потоа додајте го квадратот од -\frac{29}{10} на двете страни од равенката. Овој чекор ќе ја направи левата страна на равенката совршен квадрат.

$$x^{2}-\frac{29}{5}x+\left(-\frac{29}{10}\right)^{2}=\frac{42}{5}+\left(-\frac{29}{10}\right)^{2}$$

Кренете -\frac{29}{10} на квадрат со кревање и на броителот и на именителот на дропката на квадрат.

$$x^{2}-\frac{29}{5}x+\frac{841}{100}=\frac{42}{5}+\frac{841}{100}$$

Соберете ги \frac{42}{5} и \frac{841}{100} со наоѓање на заедничкиот именител и собирање на броителите. Потоа намалете ја дропката на најмалите членови ако е можно.

$$x^{2}-\frac{29}{5}x+\frac{841}{100}=\frac{1681}{100}$$

Фактор x^{2}-\frac{29}{5}x+\frac{841}{100}. Генерално, кога x^{2}+bx+c е совршен квадрат, може секогаш да се факторира како \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{29}{10}\right)^{2}=\frac{1681}{100}$$

Извадете квадратен корен од двете страни на равенката.

$$\sqrt{\left(x-\frac{29}{10}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1681}{100}}$$

Поедноставување.

$$x-\frac{29}{10}=\frac{41}{10} x-\frac{29}{10}=-\frac{41}{10}$$

Додавање на \frac{29}{10} на двете страни на равенката.

$$x=7 x=-\frac{6}{5}$$