Решете 5x^2-10x-15=0

$$5 { x }^{ 2 } -10x-15=0$$

Реши за x

$$x=-1$$

$$x=3$$

Чекори за употреба на факторирање со групирање

Поделете ги двете страни со 5.

$$x^{2}-2x-3=0$$

За да ја решите равенката, факторирајте ја левата страна со групирање. Прво, левата страна треба да се препише како x^{2}+ax+bx-3. За да ги најдете a и b, поставете систем за решавање.

$$a+b=-2 ab=1\left(-3\right)=-3$$

Бидејќи ab е негативно, a и b имаат спротивни знаци. Бидејќи a+b е негативно, негативниот број има поголема апсолутна вредност од позитивниот. Единствениот таков пар е решението на системот.

$$a=-3 b=1$$

Препиши го x^{2}-2x-3 како \left(x^{2}-3x\right)+\left(x-3\right).

$$\left(x^{2}-3x\right)+\left(x-3\right)$$

Факторирај го x во x^{2}-3x.

$$x\left(x-3\right)+x-3$$

Факторирај го заедничкиот термин x-3 со помош на дистрибутивно својство.

$$\left(x-3\right)\left(x+1\right)$$

За да најдете решенија за равенката, решете ги x-3=0 и x+1=0.

$$x=3 x=-1$$

Чекори за користење на формулата за квадратна равенка

Сите равенки што ја имаат формата ax^{2}+bx+c=0 може да се решат со формулата за квадратна равенка: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Формулата за квадратна равенка дава две решенија, едно кога ± е собирање, а друго кога е одземање.

$$5x^{2}-10x-15=0$$

Оваа равенка е во стандардна форма: ax^{2}+bx+c=0. Ставете 5 за a, -10 за b и -15 за c во формулата за квадратна равенка \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{\left(-10\right)^{2}-4\times 5\left(-15\right)}}{2\times 5}$$

Квадрат од -10.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-4\times 5\left(-15\right)}}{2\times 5}$$

Множење на -4 со 5.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-20\left(-15\right)}}{2\times 5}$$

Множење на -20 со -15.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100+300}}{2\times 5}$$

Собирање на 100 и 300.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{400}}{2\times 5}$$

Вадење квадратен корен од 400.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±20}{2\times 5}$$

Спротивно на -10 е 10.

$$x=\frac{10±20}{2\times 5}$$

Множење на 2 со 5.

$$x=\frac{10±20}{10}$$

Сега решете ја равенката x=\frac{10±20}{10} кога ± ќе биде плус. Собирање на 10 и 20.

$$x=\frac{30}{10}$$

Делење на 30 со 10.

$$x=3$$

Сега решете ја равенката x=\frac{10±20}{10} кога ± ќе биде минус. Одземање на 20 од 10.

$$x=-\frac{10}{10}$$

Делење на -10 со 10.

$$x=-1$$

Равенката сега е решена.

$$x=3 x=-1$$

Чекори за пополнување на квадратот

Квадратните равенки како оваа може да се решат со пополнување на квадратот. За да го пополните, равенката прво мора да биде во формата x^{2}+bx=c.

$$5x^{2}-10x-15=0$$

Додавање на 15 на двете страни на равенката.

$$5x^{2}-10x-15-\left(-15\right)=-\left(-15\right)$$

Ако одземете -15 од истиот број, ќе остане 0.

$$5x^{2}-10x=-\left(-15\right)$$

Одземање на -15 од 0.

$$5x^{2}-10x=15$$

Поделете ги двете страни со 5.

$$\frac{5x^{2}-10x}{5}=\frac{15}{5}$$

Ако поделите со 5, ќе се врати множењето со 5.

$$x^{2}+\left(-\frac{10}{5}\right)x=\frac{15}{5}$$

Делење на -10 со 5.

$$x^{2}-2x=\frac{15}{5}$$

Делење на 15 со 5.

$$x^{2}-2x=3$$

Поделете го -2, коефициентот на членот x, со 2 за да добиете -1. Потоа додајте го квадратот од -1 на двете страни од равенката. Овој чекор ќе ја направи левата страна на равенката совршен квадрат.

$$x^{2}-2x+1=3+1$$

Собирање на 3 и 1.

$$x^{2}-2x+1=4$$

Фактор x^{2}-2x+1. Генерално, кога x^{2}+bx+c е совршен квадрат, може секогаш да се факторира како \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-1\right)^{2}=4$$

Извадете квадратен корен од двете страни на равенката.

$$\sqrt{\left(x-1\right)^{2}}=\sqrt{4}$$

Поедноставување.

$$x-1=2 x-1=-2$$

Додавање на 1 на двете страни на равенката.

$$x=3 x=-1$$