Решете 49x^2+28x+4=0

$$49 { x }^{ 2 } +28x+4 = 0$$

Реши за x

$$x=-\frac{2}{7}\approx -0,285714286$$

Чекори за употреба на факторирање со групирање

За да ја решите равенката, факторирајте ја левата страна со групирање. Прво, левата страна треба да се препише како 49x^{2}+ax+bx+4. За да ги најдете a и b, поставете систем за решавање.

$$a+b=28 ab=49\times 4=196$$

Бидејќи ab е позитивно, a и b го имаат истиот знак. Бидејќи a+b е позитивно, и a и b се позитивни. Наведете ги сите парови цели броеви што даваат производ 196.

$$1,196 2,98 4,49 7,28 14,14$$

Пресметајте го збирот за секој пар.

$$1+196=197 2+98=100 4+49=53 7+28=35 14+14=28$$

Решението е парот што дава збир 28.

$$a=14 b=14$$

Препиши го 49x^{2}+28x+4 како \left(49x^{2}+14x\right)+\left(14x+4\right).

$$\left(49x^{2}+14x\right)+\left(14x+4\right)$$

Исклучете го факторот 7x во првата група и 2 во втората група.

$$7x\left(7x+2\right)+2\left(7x+2\right)$$

Факторирај го заедничкиот термин 7x+2 со помош на дистрибутивно својство.

$$\left(7x+2\right)\left(7x+2\right)$$

Препишување како биномен квадрат.

$$\left(7x+2\right)^{2}$$

За да најдете решение за равенката, решете ја 7x+2=0.

$$x=-\frac{2}{7}$$

Чекори за користење на формулата за квадратна равенка

Сите равенки што ја имаат формата ax^{2}+bx+c=0 може да се решат со формулата за квадратна равенка: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Формулата за квадратна равенка дава две решенија, едно кога ± е собирање, а друго кога е одземање.

$$49x^{2}+28x+4=0$$

Оваа равенка е во стандардна форма: ax^{2}+bx+c=0. Ставете 49 за a, 28 за b и 4 за c во формулата за квадратна равенка \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-28±\sqrt{28^{2}-4\times 49\times 4}}{2\times 49}$$

Квадрат од 28.

$$x=\frac{-28±\sqrt{784-4\times 49\times 4}}{2\times 49}$$

Множење на -4 со 49.

$$x=\frac{-28±\sqrt{784-196\times 4}}{2\times 49}$$

Множење на -196 со 4.

$$x=\frac{-28±\sqrt{784-784}}{2\times 49}$$

Собирање на 784 и -784.

$$x=\frac{-28±\sqrt{0}}{2\times 49}$$

Вадење квадратен корен од 0.

$$x=-\frac{28}{2\times 49}$$

Множење на 2 со 49.

$$x=-\frac{28}{98}$$

Намалете ја дропката \frac{-28}{98} до најниските услови со извлекување и откажување на 14.

$$x=-\frac{2}{7}$$

Чекори за пополнување на квадратот

Квадратните равенки како оваа може да се решат со пополнување на квадратот. За да го пополните, равенката прво мора да биде во формата x^{2}+bx=c.

$$49x^{2}+28x+4=0$$

Одземање на 4 од двете страни на равенката.

$$49x^{2}+28x+4-4=-4$$

Ако одземете 4 од истиот број, ќе остане 0.

$$49x^{2}+28x=-4$$

Поделете ги двете страни со 49.

$$\frac{49x^{2}+28x}{49}=-\frac{4}{49}$$

Ако поделите со 49, ќе се врати множењето со 49.

$$x^{2}+\frac{28}{49}x=-\frac{4}{49}$$

Намалете ја дропката \frac{28}{49} до најниските услови со извлекување и откажување на 7.

$$x^{2}+\frac{4}{7}x=-\frac{4}{49}$$

Поделете го \frac{4}{7}, коефициентот на членот x, со 2 за да добиете \frac{2}{7}. Потоа додајте го квадратот од \frac{2}{7} на двете страни од равенката. Овој чекор ќе ја направи левата страна на равенката совршен квадрат.

$$x^{2}+\frac{4}{7}x+\left(\frac{2}{7}\right)^{2}=-\frac{4}{49}+\left(\frac{2}{7}\right)^{2}$$

Кренете \frac{2}{7} на квадрат со кревање и на броителот и на именителот на дропката на квадрат.

$$x^{2}+\frac{4}{7}x+\frac{4}{49}=\frac{-4+4}{49}$$

Соберете ги -\frac{4}{49} и \frac{4}{49} со наоѓање на заедничкиот именител и собирање на броителите. Потоа намалете ја дропката на најмалите членови ако е можно.

$$x^{2}+\frac{4}{7}x+\frac{4}{49}=0$$

Фактор x^{2}+\frac{4}{7}x+\frac{4}{49}. Генерално, кога x^{2}+bx+c е совршен квадрат, може секогаш да се факторира како \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{2}{7}\right)^{2}=0$$

Извадете квадратен корен од двете страни на равенката.

$$\sqrt{\left(x+\frac{2}{7}\right)^{2}}=\sqrt{0}$$

Поедноставување.

$$x+\frac{2}{7}=0 x+\frac{2}{7}=0$$

Одземање на \frac{2}{7} од двете страни на равенката.

$$x=-\frac{2}{7} x=-\frac{2}{7}$$

Равенката сега е решена. Решенијата се исти.

$$x=-\frac{2}{7}$$