Решете 42x^2-5x-3=0

$$42 x ^ { 2 } - 5 x - 3 = 0$$

Реши за x

$$x=-\frac{3}{14}\approx -0,214285714$$

$$x=\frac{1}{3}\approx 0,333333333$$

Чекори за употреба на факторирање со групирање

За да ја решите равенката, факторирајте ја левата страна со групирање. Прво, левата страна треба да се препише како 42x^{2}+ax+bx-3. За да ги најдете a и b, поставете систем за решавање.

$$a+b=-5 ab=42\left(-3\right)=-126$$

Бидејќи ab е негативно, a и b имаат спротивни знаци. Бидејќи a+b е негативно, негативниот број има поголема апсолутна вредност од позитивниот. Наведете ги сите парови цели броеви што даваат производ -126.

$$1,-126 2,-63 3,-42 6,-21 7,-18 9,-14$$

Пресметајте го збирот за секој пар.

$$1-126=-125 2-63=-61 3-42=-39 6-21=-15 7-18=-11 9-14=-5$$

Решението е парот што дава збир -5.

$$a=-14 b=9$$

Препиши го 42x^{2}-5x-3 како \left(42x^{2}-14x\right)+\left(9x-3\right).

$$\left(42x^{2}-14x\right)+\left(9x-3\right)$$

Исклучете го факторот 14x во првата група и 3 во втората група.

$$14x\left(3x-1\right)+3\left(3x-1\right)$$

Факторирај го заедничкиот термин 3x-1 со помош на дистрибутивно својство.

$$\left(3x-1\right)\left(14x+3\right)$$

За да најдете решенија за равенката, решете ги 3x-1=0 и 14x+3=0.

$$x=\frac{1}{3} x=-\frac{3}{14}$$

Чекори за користење на формулата за квадратна равенка

Сите равенки што ја имаат формата ax^{2}+bx+c=0 може да се решат со формулата за квадратна равенка: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Формулата за квадратна равенка дава две решенија, едно кога ± е собирање, а друго кога е одземање.

$$42x^{2}-5x-3=0$$

Оваа равенка е во стандардна форма: ax^{2}+bx+c=0. Ставете 42 за a, -5 за b и -3 за c во формулата за квадратна равенка \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\times 42\left(-3\right)}}{2\times 42}$$

Квадрат од -5.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-4\times 42\left(-3\right)}}{2\times 42}$$

Множење на -4 со 42.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-168\left(-3\right)}}{2\times 42}$$

Множење на -168 со -3.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25+504}}{2\times 42}$$

Собирање на 25 и 504.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{529}}{2\times 42}$$

Вадење квадратен корен од 529.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±23}{2\times 42}$$

Спротивно на -5 е 5.

$$x=\frac{5±23}{2\times 42}$$

Множење на 2 со 42.

$$x=\frac{5±23}{84}$$

Сега решете ја равенката x=\frac{5±23}{84} кога ± ќе биде плус. Собирање на 5 и 23.

$$x=\frac{28}{84}$$

Намалете ја дропката \frac{28}{84} до најниските услови со извлекување и откажување на 28.

$$x=\frac{1}{3}$$

Сега решете ја равенката x=\frac{5±23}{84} кога ± ќе биде минус. Одземање на 23 од 5.

$$x=-\frac{18}{84}$$

Намалете ја дропката \frac{-18}{84} до најниските услови со извлекување и откажување на 6.

$$x=-\frac{3}{14}$$

Равенката сега е решена.

$$x=\frac{1}{3} x=-\frac{3}{14}$$

Чекори за пополнување на квадратот

Квадратните равенки како оваа може да се решат со пополнување на квадратот. За да го пополните, равенката прво мора да биде во формата x^{2}+bx=c.

$$42x^{2}-5x-3=0$$

Додавање на 3 на двете страни на равенката.

$$42x^{2}-5x-3-\left(-3\right)=-\left(-3\right)$$

Ако одземете -3 од истиот број, ќе остане 0.

$$42x^{2}-5x=-\left(-3\right)$$

Одземање на -3 од 0.

$$42x^{2}-5x=3$$

Поделете ги двете страни со 42.

$$\frac{42x^{2}-5x}{42}=\frac{3}{42}$$

Ако поделите со 42, ќе се врати множењето со 42.

$$x^{2}-\frac{5}{42}x=\frac{3}{42}$$

Намалете ја дропката \frac{3}{42} до најниските услови со извлекување и откажување на 3.

$$x^{2}-\frac{5}{42}x=\frac{1}{14}$$

Поделете го -\frac{5}{42}, коефициентот на членот x, со 2 за да добиете -\frac{5}{84}. Потоа додајте го квадратот од -\frac{5}{84} на двете страни од равенката. Овој чекор ќе ја направи левата страна на равенката совршен квадрат.

$$x^{2}-\frac{5}{42}x+\left(-\frac{5}{84}\right)^{2}=\frac{1}{14}+\left(-\frac{5}{84}\right)^{2}$$

Кренете -\frac{5}{84} на квадрат со кревање и на броителот и на именителот на дропката на квадрат.

$$x^{2}-\frac{5}{42}x+\frac{25}{7056}=\frac{1}{14}+\frac{25}{7056}$$

Соберете ги \frac{1}{14} и \frac{25}{7056} со наоѓање на заедничкиот именител и собирање на броителите. Потоа намалете ја дропката на најмалите членови ако е можно.

$$x^{2}-\frac{5}{42}x+\frac{25}{7056}=\frac{529}{7056}$$

Фактор x^{2}-\frac{5}{42}x+\frac{25}{7056}. Генерално, кога x^{2}+bx+c е совршен квадрат, може секогаш да се факторира како \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{5}{84}\right)^{2}=\frac{529}{7056}$$

Извадете квадратен корен од двете страни на равенката.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{84}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{529}{7056}}$$

Поедноставување.

$$x-\frac{5}{84}=\frac{23}{84} x-\frac{5}{84}=-\frac{23}{84}$$

Додавање на \frac{5}{84} на двете страни на равенката.

$$x=\frac{1}{3} x=-\frac{3}{14}$$