Решете 40x+2x(30-2x)=200

$$40x+2x(30-2x)=200$$

Реши за x

$$x = \frac{5 \sqrt{17} + 25}{2} \approx 22,807764064$$

$$x = \frac{25 - 5 \sqrt{17}}{2} \approx 2,192235936$$

Чекори за користење на формулата за квадратна равенка

Користете го дистрибутивното својство за да помножите 2x со 30-2x.

$$40x+60x-4x^{2}=200$$

Комбинирајте 40x и 60x за да добиете 100x.

$$100x-4x^{2}=200$$

Одземете 200 од двете страни.

$$100x-4x^{2}-200=0$$

Сите равенки што ја имаат формата ax^{2}+bx+c=0 може да се решат со формулата за квадратна равенка: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Формулата за квадратна равенка дава две решенија, едно кога ± е собирање, а друго кога е одземање.

$$-4x^{2}+100x-200=0$$

Оваа равенка е во стандардна форма: ax^{2}+bx+c=0. Ставете -4 за a, 100 за b и -200 за c во формулата за квадратна равенка \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-100±\sqrt{100^{2}-4\left(-4\right)\left(-200\right)}}{2\left(-4\right)}$$

Квадрат од 100.

$$x=\frac{-100±\sqrt{10000-4\left(-4\right)\left(-200\right)}}{2\left(-4\right)}$$

Множење на -4 со -4.

$$x=\frac{-100±\sqrt{10000+16\left(-200\right)}}{2\left(-4\right)}$$

Множење на 16 со -200.

$$x=\frac{-100±\sqrt{10000-3200}}{2\left(-4\right)}$$

Собирање на 10000 и -3200.

$$x=\frac{-100±\sqrt{6800}}{2\left(-4\right)}$$

Вадење квадратен корен од 6800.

$$x=\frac{-100±20\sqrt{17}}{2\left(-4\right)}$$

Множење на 2 со -4.

$$x=\frac{-100±20\sqrt{17}}{-8}$$

Сега решете ја равенката x=\frac{-100±20\sqrt{17}}{-8} кога ± ќе биде плус. Собирање на -100 и 20\sqrt{17}.

$$x=\frac{20\sqrt{17}-100}{-8}$$

Делење на -100+20\sqrt{17} со -8.

$$x=\frac{25-5\sqrt{17}}{2}$$

Сега решете ја равенката x=\frac{-100±20\sqrt{17}}{-8} кога ± ќе биде минус. Одземање на 20\sqrt{17} од -100.

$$x=\frac{-20\sqrt{17}-100}{-8}$$

Делење на -100-20\sqrt{17} со -8.

$$x=\frac{5\sqrt{17}+25}{2}$$

Равенката сега е решена.

$$x=\frac{25-5\sqrt{17}}{2} x=\frac{5\sqrt{17}+25}{2}$$

Чекори за пополнување на квадратот

Користете го дистрибутивното својство за да помножите 2x со 30-2x.

$$40x+60x-4x^{2}=200$$

Комбинирајте 40x и 60x за да добиете 100x.

$$100x-4x^{2}=200$$

Квадратните равенки како оваа може да се решат со пополнување на квадратот. За да го пополните, равенката прво мора да биде во формата x^{2}+bx=c.

$$-4x^{2}+100x=200$$

Поделете ги двете страни со -4.

$$\frac{-4x^{2}+100x}{-4}=\frac{200}{-4}$$

Ако поделите со -4, ќе се врати множењето со -4.

$$x^{2}+\frac{100}{-4}x=\frac{200}{-4}$$

Делење на 100 со -4.

$$x^{2}-25x=\frac{200}{-4}$$

Делење на 200 со -4.

$$x^{2}-25x=-50$$

Поделете го -25, коефициентот на членот x, со 2 за да добиете -\frac{25}{2}. Потоа додајте го квадратот од -\frac{25}{2} на двете страни од равенката. Овој чекор ќе ја направи левата страна на равенката совршен квадрат.

$$x^{2}-25x+\left(-\frac{25}{2}\right)^{2}=-50+\left(-\frac{25}{2}\right)^{2}$$

Кренете -\frac{25}{2} на квадрат со кревање и на броителот и на именителот на дропката на квадрат.

$$x^{2}-25x+\frac{625}{4}=-50+\frac{625}{4}$$

Собирање на -50 и \frac{625}{4}.

$$x^{2}-25x+\frac{625}{4}=\frac{425}{4}$$

Фактор x^{2}-25x+\frac{625}{4}. Генерално, кога x^{2}+bx+c е совршен квадрат, може секогаш да се факторира како \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{25}{2}\right)^{2}=\frac{425}{4}$$

Извадете квадратен корен од двете страни на равенката.

$$\sqrt{\left(x-\frac{25}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{425}{4}}$$

Поедноставување.

$$x-\frac{25}{2}=\frac{5\sqrt{17}}{2} x-\frac{25}{2}=-\frac{5\sqrt{17}}{2}$$

Додавање на \frac{25}{2} на двете страни на равенката.

$$x=\frac{5\sqrt{17}+25}{2} x=\frac{25-5\sqrt{17}}{2}$$