Решете 4z^2-16z+15=0

$$4 z ^ { 2 } - 16 z + 15 = 0$$

Реши за z

$$z = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} = 1,5$$

$$z = \frac{5}{2} = 2\frac{1}{2} = 2,5$$

Чекори за употреба на факторирање со групирање

За да ја решите равенката, факторирајте ја левата страна со групирање. Прво, левата страна треба да се препише како 4z^{2}+az+bz+15. За да ги најдете a и b, поставете систем за решавање.

$$a+b=-16 ab=4\times 15=60$$

Бидејќи ab е позитивно, a и b го имаат истиот знак. Бидејќи a+b е негативно, и a и b се негативни. Наведете ги сите парови цели броеви што даваат производ 60.

$$-1,-60 -2,-30 -3,-20 -4,-15 -5,-12 -6,-10$$

Пресметајте го збирот за секој пар.

$$-1-60=-61 -2-30=-32 -3-20=-23 -4-15=-19 -5-12=-17 -6-10=-16$$

Решението е парот што дава збир -16.

$$a=-10 b=-6$$

Препиши го 4z^{2}-16z+15 како \left(4z^{2}-10z\right)+\left(-6z+15\right).

$$\left(4z^{2}-10z\right)+\left(-6z+15\right)$$

Исклучете го факторот 2z во првата група и -3 во втората група.

$$2z\left(2z-5\right)-3\left(2z-5\right)$$

Факторирај го заедничкиот термин 2z-5 со помош на дистрибутивно својство.

$$\left(2z-5\right)\left(2z-3\right)$$

За да најдете решенија за равенката, решете ги 2z-5=0 и 2z-3=0.

$$z=\frac{5}{2} z=\frac{3}{2}$$

Чекори за користење на формулата за квадратна равенка

Сите равенки што ја имаат формата ax^{2}+bx+c=0 може да се решат со формулата за квадратна равенка: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Формулата за квадратна равенка дава две решенија, едно кога ± е собирање, а друго кога е одземање.

$$4z^{2}-16z+15=0$$

Оваа равенка е во стандардна форма: ax^{2}+bx+c=0. Ставете 4 за a, -16 за b и 15 за c во формулата за квадратна равенка \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$z=\frac{-\left(-16\right)±\sqrt{\left(-16\right)^{2}-4\times 4\times 15}}{2\times 4}$$

Квадрат од -16.

$$z=\frac{-\left(-16\right)±\sqrt{256-4\times 4\times 15}}{2\times 4}$$

Множење на -4 со 4.

$$z=\frac{-\left(-16\right)±\sqrt{256-16\times 15}}{2\times 4}$$

Множење на -16 со 15.

$$z=\frac{-\left(-16\right)±\sqrt{256-240}}{2\times 4}$$

Собирање на 256 и -240.

$$z=\frac{-\left(-16\right)±\sqrt{16}}{2\times 4}$$

Вадење квадратен корен од 16.

$$z=\frac{-\left(-16\right)±4}{2\times 4}$$

Спротивно на -16 е 16.

$$z=\frac{16±4}{2\times 4}$$

Множење на 2 со 4.

$$z=\frac{16±4}{8}$$

Сега решете ја равенката z=\frac{16±4}{8} кога ± ќе биде плус. Собирање на 16 и 4.

$$z=\frac{20}{8}$$

Намалете ја дропката \frac{20}{8} до најниските услови со извлекување и откажување на 4.

$$z=\frac{5}{2}$$

Сега решете ја равенката z=\frac{16±4}{8} кога ± ќе биде минус. Одземање на 4 од 16.

$$z=\frac{12}{8}$$

Намалете ја дропката \frac{12}{8} до најниските услови со извлекување и откажување на 4.

$$z=\frac{3}{2}$$

Равенката сега е решена.

$$z=\frac{5}{2} z=\frac{3}{2}$$

Чекори за пополнување на квадратот

Квадратните равенки како оваа може да се решат со пополнување на квадратот. За да го пополните, равенката прво мора да биде во формата x^{2}+bx=c.

$$4z^{2}-16z+15=0$$

Одземање на 15 од двете страни на равенката.

$$4z^{2}-16z+15-15=-15$$

Ако одземете 15 од истиот број, ќе остане 0.

$$4z^{2}-16z=-15$$

Поделете ги двете страни со 4.

$$\frac{4z^{2}-16z}{4}=-\frac{15}{4}$$

Ако поделите со 4, ќе се врати множењето со 4.

$$z^{2}+\left(-\frac{16}{4}\right)z=-\frac{15}{4}$$

Делење на -16 со 4.

$$z^{2}-4z=-\frac{15}{4}$$

Поделете го -4, коефициентот на членот x, со 2 за да добиете -2. Потоа додајте го квадратот од -2 на двете страни од равенката. Овој чекор ќе ја направи левата страна на равенката совршен квадрат.

$$z^{2}-4z+\left(-2\right)^{2}=-\frac{15}{4}+\left(-2\right)^{2}$$

Квадрат од -2.

$$z^{2}-4z+4=-\frac{15}{4}+4$$

Собирање на -\frac{15}{4} и 4.

$$z^{2}-4z+4=\frac{1}{4}$$

Фактор z^{2}-4z+4. Генерално, кога x^{2}+bx+c е совршен квадрат, може секогаш да се факторира како \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(z-2\right)^{2}=\frac{1}{4}$$

Извадете квадратен корен од двете страни на равенката.

$$\sqrt{\left(z-2\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{4}}$$

Поедноставување.

$$z-2=\frac{1}{2} z-2=-\frac{1}{2}$$

Додавање на 2 на двете страни на равенката.

$$z=\frac{5}{2} z=\frac{3}{2}$$