Решете 4y^2-56y=108

$$4 y ^ { 2 } - 56 y = 108$$

Реши за y

$$y=2\sqrt{19}+7\approx 15,717797887$$

$$y=7-2\sqrt{19}\approx -1,717797887$$

Чекори за користење на формулата за квадратна равенка

Сите равенки што ја имаат формата ax^{2}+bx+c=0 може да се решат со формулата за квадратна равенка: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Формулата за квадратна равенка дава две решенија, едно кога ± е собирање, а друго кога е одземање.

$$4y^{2}-56y=108$$

Одземање на 108 од двете страни на равенката.

$$4y^{2}-56y-108=108-108$$

Ако одземете 108 од истиот број, ќе остане 0.

$$4y^{2}-56y-108=0$$

Оваа равенка е во стандардна форма: ax^{2}+bx+c=0. Ставете 4 за a, -56 за b и -108 за c во формулата за квадратна равенка \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-\left(-56\right)±\sqrt{\left(-56\right)^{2}-4\times 4\left(-108\right)}}{2\times 4}$$

Квадрат од -56.

$$y=\frac{-\left(-56\right)±\sqrt{3136-4\times 4\left(-108\right)}}{2\times 4}$$

Множење на -4 со 4.

$$y=\frac{-\left(-56\right)±\sqrt{3136-16\left(-108\right)}}{2\times 4}$$

Множење на -16 со -108.

$$y=\frac{-\left(-56\right)±\sqrt{3136+1728}}{2\times 4}$$

Собирање на 3136 и 1728.

$$y=\frac{-\left(-56\right)±\sqrt{4864}}{2\times 4}$$

Вадење квадратен корен од 4864.

$$y=\frac{-\left(-56\right)±16\sqrt{19}}{2\times 4}$$

Спротивно на -56 е 56.

$$y=\frac{56±16\sqrt{19}}{2\times 4}$$

Множење на 2 со 4.

$$y=\frac{56±16\sqrt{19}}{8}$$

Сега решете ја равенката y=\frac{56±16\sqrt{19}}{8} кога ± ќе биде плус. Собирање на 56 и 16\sqrt{19}.

$$y=\frac{16\sqrt{19}+56}{8}$$

Делење на 56+16\sqrt{19} со 8.

$$y=2\sqrt{19}+7$$

Сега решете ја равенката y=\frac{56±16\sqrt{19}}{8} кога ± ќе биде минус. Одземање на 16\sqrt{19} од 56.

$$y=\frac{56-16\sqrt{19}}{8}$$

Делење на 56-16\sqrt{19} со 8.

$$y=7-2\sqrt{19}$$

Равенката сега е решена.

$$y=2\sqrt{19}+7 y=7-2\sqrt{19}$$

Чекори за пополнување на квадратот

Квадратните равенки како оваа може да се решат со пополнување на квадратот. За да го пополните, равенката прво мора да биде во формата x^{2}+bx=c.

$$4y^{2}-56y=108$$

Поделете ги двете страни со 4.

$$\frac{4y^{2}-56y}{4}=\frac{108}{4}$$

Ако поделите со 4, ќе се врати множењето со 4.

$$y^{2}+\left(-\frac{56}{4}\right)y=\frac{108}{4}$$

Делење на -56 со 4.

$$y^{2}-14y=\frac{108}{4}$$

Делење на 108 со 4.

$$y^{2}-14y=27$$

Поделете го -14, коефициентот на членот x, со 2 за да добиете -7. Потоа додајте го квадратот од -7 на двете страни од равенката. Овој чекор ќе ја направи левата страна на равенката совршен квадрат.

$$y^{2}-14y+\left(-7\right)^{2}=27+\left(-7\right)^{2}$$

Квадрат од -7.

$$y^{2}-14y+49=27+49$$

Собирање на 27 и 49.

$$y^{2}-14y+49=76$$

Фактор y^{2}-14y+49. Генерално, кога x^{2}+bx+c е совршен квадрат, може секогаш да се факторира како \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(y-7\right)^{2}=76$$

Извадете квадратен корен од двете страни на равенката.

$$\sqrt{\left(y-7\right)^{2}}=\sqrt{76}$$

Поедноставување.

$$y-7=2\sqrt{19} y-7=-2\sqrt{19}$$

Додавање на 7 на двете страни на равенката.

$$y=2\sqrt{19}+7 y=7-2\sqrt{19}$$