Решете 4x-y=5text{and}5y-4x=7

$$4 x - y = 5 \text { and } 5 y - 4 x = 7$$

Реши за x, y

$$x=2$$

$$y=3$$

Чекори за користење замена

За да решите две равенки со помош на замена, прво решете една од равенките за една од променливите. Потоа заменете го резултатот за променливата во другата равенка.

$$4x-y=5,-4x+5y=7$$

Изберете една од равенките и најдете решение за x со изолирање на x на левата страна од знакот за еднакво.

$$4x-y=5$$

Додавање на y на двете страни на равенката.

$$4x=y+5$$

Поделете ги двете страни со 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(y+5\right)$$

Множење на \frac{1}{4} со y+5.

$$x=\frac{1}{4}y+\frac{5}{4}$$

Заменете го x со \frac{5+y}{4} во другата равенка, -4x+5y=7.

$$-4\left(\frac{1}{4}y+\frac{5}{4}\right)+5y=7$$

Множење на -4 со \frac{5+y}{4}.

$$-y-5+5y=7$$

Собирање на -y и 5y.

$$4y-5=7$$

Додавање на 5 на двете страни на равенката.

$$4y=12$$

Поделете ги двете страни со 4.

$$y=3$$

Заменете го y со 3 во x=\frac{1}{4}y+\frac{5}{4}. Бидејќи равенката што ќе ја добиете содржи само една променлива, може директно да најдете решение за x.

$$x=\frac{1}{4}\times 3+\frac{5}{4}$$

Множење на \frac{1}{4} со 3.

$$x=\frac{3+5}{4}$$

Соберете ги \frac{5}{4} и \frac{3}{4} со наоѓање на заедничкиот именител и собирање на броителите. Потоа намалете ја дропката на најмалите членови ако е можно.

$$x=2$$

Системот е решен сега.

$$x=2,y=3$$

Чекори за користење матрици

Ставете ги равенките во стандардна форма и потоа користете матрици за решавање на системот равенки.

$$4x-y=5,-4x+5y=7$$

Пишување на равенките во форма на матрица.

$$\left(\begin{matrix}4&-1\\-4&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Помножете ја равенката налево со обратната матрица на \left(\begin{matrix}4&-1\\-4&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-1\\-4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-1\\-4&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-1\\-4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Производот од матрицата и нејзината спротивна вредност е идентитетска матрица.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-1\\-4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Помножете ги матриците на левата страна од знакот за еднакво.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-1\\-4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

За матрицата 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), обратната матрица е \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), па равенката во матрицата може да се препише како проблем за множење матрици.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{4\times 5-\left(-\left(-4\right)\right)}&-\frac{-1}{4\times 5-\left(-\left(-4\right)\right)}\\-\frac{-4}{4\times 5-\left(-\left(-4\right)\right)}&\frac{4}{4\times 5-\left(-\left(-4\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Направете аритметичко пресметување.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{16}&\frac{1}{16}\\\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Множење на матриците.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{16}\times 5+\frac{1}{16}\times 7\\\frac{1}{4}\times 5+\frac{1}{4}\times 7\end{matrix}\right)$$

Направете аритметичко пресметување.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

Извлекување на елементите на матрицата x и y.

$$x=2,y=3$$

Чекори за користење елиминација

За да се реши со елиминација, коефициентите на една од променливите мора да бидат исти во двете равенки со цел променливата да се анулира кога едната равенка ќе се одземе од другата.

$$4x-y=5,-4x+5y=7$$

За да ги направите 4x и -4x исти, помножете ги сите членови од двете страни на првата равенка со -4 и сите членови од двете страни на втората со 4.

$$-4\times 4x-4\left(-1\right)y=-4\times 5,4\left(-4\right)x+4\times 5y=4\times 7$$

Поедноставување.

$$-16x+4y=-20,-16x+20y=28$$

Одземете -16x+20y=28 од -16x+4y=-20 со одземање на сличните членови од двете страни на знакот за еднакво.

$$-16x+16x+4y-20y=-20-28$$

Собирање на -16x и 16x. Термините -16x и 16x се анулираат, оставајќи равенка само со една променлива што може да се реши.

$$4y-20y=-20-28$$

Собирање на 4y и -20y.

$$-16y=-20-28$$

Собирање на -20 и -28.

$$-16y=-48$$

Поделете ги двете страни со -16.

$$y=3$$

Заменете го y со 3 во -4x+5y=7. Бидејќи равенката што ќе ја добиете содржи само една променлива, може директно да најдете решение за x.

$$-4x+5\times 3=7$$

Множење на 5 со 3.

$$-4x+15=7$$

Одземање на 15 од двете страни на равенката.

$$-4x=-8$$

Поделете ги двете страни со -4.

$$x=2$$

Системот е решен сега.

$$x=2,y=3$$