Решете 4x-2y=28text{and}x=y+5

$$4 x - 2 y = 28 \text { and } x = y + 5$$

Реши за x, y

$$x=9$$

$$y=4$$

Чекори за користење замена

Земете ја предвид втората равенка. Одземете y од двете страни.

$$x-y=5$$

За да решите две равенки со помош на замена, прво решете една од равенките за една од променливите. Потоа заменете го резултатот за променливата во другата равенка.

$$4x-2y=28,x-y=5$$

Изберете една од равенките и најдете решение за x со изолирање на x на левата страна од знакот за еднакво.

$$4x-2y=28$$

Додавање на 2y на двете страни на равенката.

$$4x=2y+28$$

Поделете ги двете страни со 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(2y+28\right)$$

Множење на \frac{1}{4} со 28+2y.

$$x=\frac{1}{2}y+7$$

Заменете го x со \frac{y}{2}+7 во другата равенка, x-y=5.

$$\frac{1}{2}y+7-y=5$$

Собирање на \frac{y}{2} и -y.

$$-\frac{1}{2}y+7=5$$

Одземање на 7 од двете страни на равенката.

$$-\frac{1}{2}y=-2$$

Помножете ги двете страни со -2.

$$y=4$$

Заменете го y со 4 во x=\frac{1}{2}y+7. Бидејќи равенката што ќе ја добиете содржи само една променлива, може директно да најдете решение за x.

$$x=\frac{1}{2}\times 4+7$$

Множење на \frac{1}{2} со 4.

$$x=2+7$$

Собирање на 7 и 2.

$$x=9$$

Системот е решен сега.

$$x=9,y=4$$

Чекори за користење матрици

Земете ја предвид втората равенка. Одземете y од двете страни.

$$x-y=5$$

Ставете ги равенките во стандардна форма и потоа користете матрици за решавање на системот равенки.

$$4x-2y=28,x-y=5$$

Пишување на равенките во форма на матрица.

$$\left(\begin{matrix}4&-2\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}28\\5\end{matrix}\right)$$

Помножете ја равенката налево со обратната матрица на \left(\begin{matrix}4&-2\\1&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-2\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}28\\5\end{matrix}\right)$$

Производот од матрицата и нејзината спротивна вредност е идентитетска матрица.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}28\\5\end{matrix}\right)$$

Помножете ги матриците на левата страна од знакот за еднакво.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}28\\5\end{matrix}\right)$$

За матрицата 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), обратната матрица е \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), па равенката во матрицата може да се препише како проблем за множење матрици.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4\left(-1\right)-\left(-2\right)}&-\frac{-2}{4\left(-1\right)-\left(-2\right)}\\-\frac{1}{4\left(-1\right)-\left(-2\right)}&\frac{4}{4\left(-1\right)-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}28\\5\end{matrix}\right)$$

Направете аритметичко пресметување.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&-1\\\frac{1}{2}&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}28\\5\end{matrix}\right)$$

Множење на матриците.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\times 28-5\\\frac{1}{2}\times 28-2\times 5\end{matrix}\right)$$

Направете аритметичко пресметување.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\4\end{matrix}\right)$$

Извлекување на елементите на матрицата x и y.

$$x=9,y=4$$

Чекори за користење елиминација

Земете ја предвид втората равенка. Одземете y од двете страни.

$$x-y=5$$

За да се реши со елиминација, коефициентите на една од променливите мора да бидат исти во двете равенки со цел променливата да се анулира кога едната равенка ќе се одземе од другата.

$$4x-2y=28,x-y=5$$

За да ги направите 4x и x исти, помножете ги сите членови од двете страни на првата равенка со 1 и сите членови од двете страни на втората со 4.

$$4x-2y=28,4x+4\left(-1\right)y=4\times 5$$

Поедноставување.

$$4x-2y=28,4x-4y=20$$

Одземете 4x-4y=20 од 4x-2y=28 со одземање на сличните членови од двете страни на знакот за еднакво.

$$4x-4x-2y+4y=28-20$$

Собирање на 4x и -4x. Термините 4x и -4x се анулираат, оставајќи равенка само со една променлива што може да се реши.

$$-2y+4y=28-20$$

Собирање на -2y и 4y.

$$2y=28-20$$

Собирање на 28 и -20.

$$2y=8$$

Поделете ги двете страни со 2.

$$y=4$$

Заменете го y со 4 во x-y=5. Бидејќи равенката што ќе ја добиете содржи само една променлива, може директно да најдете решение за x.

$$x-4=5$$

Додавање на 4 на двете страни на равенката.

$$x=9$$

Системот е решен сега.

$$x=9,y=4$$