Решете 4x^2-x-5=0

$$4 x ^ { 2 } - x - 5 = 0$$

Реши за x

$$x=-1$$

$$x = \frac{5}{4} = 1\frac{1}{4} = 1,25$$

Чекори за употреба на факторирање со групирање

За да ја решите равенката, факторирајте ја левата страна со групирање. Прво, левата страна треба да се препише како 4x^{2}+ax+bx-5. За да ги најдете a и b, поставете систем за решавање.

$$a+b=-1 ab=4\left(-5\right)=-20$$

Бидејќи ab е негативно, a и b имаат спротивни знаци. Бидејќи a+b е негативно, негативниот број има поголема апсолутна вредност од позитивниот. Наведете ги сите парови цели броеви што даваат производ -20.

$$1,-20 2,-10 4,-5$$

Пресметајте го збирот за секој пар.

$$1-20=-19 2-10=-8 4-5=-1$$

Решението е парот што дава збир -1.

$$a=-5 b=4$$

Препиши го 4x^{2}-x-5 како \left(4x^{2}-5x\right)+\left(4x-5\right).

$$\left(4x^{2}-5x\right)+\left(4x-5\right)$$

Факторирај го x во 4x^{2}-5x.

$$x\left(4x-5\right)+4x-5$$

Факторирај го заедничкиот термин 4x-5 со помош на дистрибутивно својство.

$$\left(4x-5\right)\left(x+1\right)$$

За да најдете решенија за равенката, решете ги 4x-5=0 и x+1=0.

$$x=\frac{5}{4} x=-1$$

Чекори за користење на формулата за квадратна равенка

Сите равенки што ја имаат формата ax^{2}+bx+c=0 може да се решат со формулата за квадратна равенка: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Формулата за квадратна равенка дава две решенија, едно кога ± е собирање, а друго кога е одземање.

$$4x^{2}-x-5=0$$

Оваа равенка е во стандардна форма: ax^{2}+bx+c=0. Ставете 4 за a, -1 за b и -5 за c во формулата за квадратна равенка \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\times 4\left(-5\right)}}{2\times 4}$$

Множење на -4 со 4.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-16\left(-5\right)}}{2\times 4}$$

Множење на -16 со -5.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+80}}{2\times 4}$$

Собирање на 1 и 80.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{81}}{2\times 4}$$

Вадење квадратен корен од 81.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±9}{2\times 4}$$

Спротивно на -1 е 1.

$$x=\frac{1±9}{2\times 4}$$

Множење на 2 со 4.

$$x=\frac{1±9}{8}$$

Сега решете ја равенката x=\frac{1±9}{8} кога ± ќе биде плус. Собирање на 1 и 9.

$$x=\frac{10}{8}$$

Намалете ја дропката \frac{10}{8} до најниските услови со извлекување и откажување на 2.

$$x=\frac{5}{4}$$

Сега решете ја равенката x=\frac{1±9}{8} кога ± ќе биде минус. Одземање на 9 од 1.

$$x=-\frac{8}{8}$$

Делење на -8 со 8.

$$x=-1$$

Равенката сега е решена.

$$x=\frac{5}{4} x=-1$$

Чекори за пополнување на квадратот

Квадратните равенки како оваа може да се решат со пополнување на квадратот. За да го пополните, равенката прво мора да биде во формата x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}-x-5=0$$

Додавање на 5 на двете страни на равенката.

$$4x^{2}-x-5-\left(-5\right)=-\left(-5\right)$$

Ако одземете -5 од истиот број, ќе остане 0.

$$4x^{2}-x=-\left(-5\right)$$

Одземање на -5 од 0.

$$4x^{2}-x=5$$

Поделете ги двете страни со 4.

$$\frac{4x^{2}-x}{4}=\frac{5}{4}$$

Ако поделите со 4, ќе се врати множењето со 4.

$$x^{2}-\frac{1}{4}x=\frac{5}{4}$$

Поделете го -\frac{1}{4}, коефициентот на членот x, со 2 за да добиете -\frac{1}{8}. Потоа додајте го квадратот од -\frac{1}{8} на двете страни од равенката. Овој чекор ќе ја направи левата страна на равенката совршен квадрат.

$$x^{2}-\frac{1}{4}x+\left(-\frac{1}{8}\right)^{2}=\frac{5}{4}+\left(-\frac{1}{8}\right)^{2}$$

Кренете -\frac{1}{8} на квадрат со кревање и на броителот и на именителот на дропката на квадрат.

$$x^{2}-\frac{1}{4}x+\frac{1}{64}=\frac{5}{4}+\frac{1}{64}$$

Соберете ги \frac{5}{4} и \frac{1}{64} со наоѓање на заедничкиот именител и собирање на броителите. Потоа намалете ја дропката на најмалите членови ако е можно.

$$x^{2}-\frac{1}{4}x+\frac{1}{64}=\frac{81}{64}$$

Фактор x^{2}-\frac{1}{4}x+\frac{1}{64}. Генерално, кога x^{2}+bx+c е совршен квадрат, може секогаш да се факторира како \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{8}\right)^{2}=\frac{81}{64}$$

Извадете квадратен корен од двете страни на равенката.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{81}{64}}$$

Поедноставување.

$$x-\frac{1}{8}=\frac{9}{8} x-\frac{1}{8}=-\frac{9}{8}$$

Додавање на \frac{1}{8} на двете страни на равенката.

$$x=\frac{5}{4} x=-1$$