Решете 4x^2-7x-1=0

$$4 x ^ { 2 } - 7 x - 1 = 0$$

Реши за x

$$x = \frac{\sqrt{65} + 7}{8} \approx 1,882782219$$

$$x=\frac{7-\sqrt{65}}{8}\approx -0,132782219$$

Чекори за користење на формулата за квадратна равенка

Сите равенки што ја имаат формата ax^{2}+bx+c=0 може да се решат со формулата за квадратна равенка: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Формулата за квадратна равенка дава две решенија, едно кога ± е собирање, а друго кога е одземање.

$$4x^{2}-7x-1=0$$

Оваа равенка е во стандардна форма: ax^{2}+bx+c=0. Ставете 4 за a, -7 за b и -1 за c во формулата за квадратна равенка \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{\left(-7\right)^{2}-4\times 4\left(-1\right)}}{2\times 4}$$

Квадрат од -7.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-4\times 4\left(-1\right)}}{2\times 4}$$

Множење на -4 со 4.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-16\left(-1\right)}}{2\times 4}$$

Множење на -16 со -1.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49+16}}{2\times 4}$$

Собирање на 49 и 16.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{65}}{2\times 4}$$

Спротивно на -7 е 7.

$$x=\frac{7±\sqrt{65}}{2\times 4}$$

Множење на 2 со 4.

$$x=\frac{7±\sqrt{65}}{8}$$

Сега решете ја равенката x=\frac{7±\sqrt{65}}{8} кога ± ќе биде плус. Собирање на 7 и \sqrt{65}.

$$x=\frac{\sqrt{65}+7}{8}$$

Сега решете ја равенката x=\frac{7±\sqrt{65}}{8} кога ± ќе биде минус. Одземање на \sqrt{65} од 7.

$$x=\frac{7-\sqrt{65}}{8}$$

Равенката сега е решена.

$$x=\frac{\sqrt{65}+7}{8} x=\frac{7-\sqrt{65}}{8}$$

Чекори за пополнување на квадратот

Квадратните равенки како оваа може да се решат со пополнување на квадратот. За да го пополните, равенката прво мора да биде во формата x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}-7x-1=0$$

Додавање на 1 на двете страни на равенката.

$$4x^{2}-7x-1-\left(-1\right)=-\left(-1\right)$$

Ако одземете -1 од истиот број, ќе остане 0.

$$4x^{2}-7x=-\left(-1\right)$$

Одземање на -1 од 0.

$$4x^{2}-7x=1$$

Поделете ги двете страни со 4.

$$\frac{4x^{2}-7x}{4}=\frac{1}{4}$$

Ако поделите со 4, ќе се врати множењето со 4.

$$x^{2}-\frac{7}{4}x=\frac{1}{4}$$

Поделете го -\frac{7}{4}, коефициентот на членот x, со 2 за да добиете -\frac{7}{8}. Потоа додајте го квадратот од -\frac{7}{8} на двете страни од равенката. Овој чекор ќе ја направи левата страна на равенката совршен квадрат.

$$x^{2}-\frac{7}{4}x+\left(-\frac{7}{8}\right)^{2}=\frac{1}{4}+\left(-\frac{7}{8}\right)^{2}$$

Кренете -\frac{7}{8} на квадрат со кревање и на броителот и на именителот на дропката на квадрат.

$$x^{2}-\frac{7}{4}x+\frac{49}{64}=\frac{1}{4}+\frac{49}{64}$$

Соберете ги \frac{1}{4} и \frac{49}{64} со наоѓање на заедничкиот именител и собирање на броителите. Потоа намалете ја дропката на најмалите членови ако е можно.

$$x^{2}-\frac{7}{4}x+\frac{49}{64}=\frac{65}{64}$$

Фактор x^{2}-\frac{7}{4}x+\frac{49}{64}. Генерално, кога x^{2}+bx+c е совршен квадрат, може секогаш да се факторира како \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{7}{8}\right)^{2}=\frac{65}{64}$$

Извадете квадратен корен од двете страни на равенката.

$$\sqrt{\left(x-\frac{7}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{65}{64}}$$

Поедноставување.

$$x-\frac{7}{8}=\frac{\sqrt{65}}{8} x-\frac{7}{8}=-\frac{\sqrt{65}}{8}$$

Додавање на \frac{7}{8} на двете страни на равенката.

$$x=\frac{\sqrt{65}+7}{8} x=\frac{7-\sqrt{65}}{8}$$