Решете 4x^2-5x+1=0

$$4 x ^ { 2 } - 5 x + 1 = 0$$

Реши за x

$$x=\frac{1}{4}=0,25$$

$$x=1$$

Чекори за употреба на факторирање со групирање

За да ја решите равенката, факторирајте ја левата страна со групирање. Прво, левата страна треба да се препише како 4x^{2}+ax+bx+1. За да ги најдете a и b, поставете систем за решавање.

$$a+b=-5 ab=4\times 1=4$$

Бидејќи ab е позитивно, a и b го имаат истиот знак. Бидејќи a+b е негативно, и a и b се негативни. Наведете ги сите парови цели броеви што даваат производ 4.

$$-1,-4 -2,-2$$

Пресметајте го збирот за секој пар.

$$-1-4=-5 -2-2=-4$$

Решението е парот што дава збир -5.

$$a=-4 b=-1$$

Препиши го 4x^{2}-5x+1 како \left(4x^{2}-4x\right)+\left(-x+1\right).

$$\left(4x^{2}-4x\right)+\left(-x+1\right)$$

Исклучете го факторот 4x во првата група и -1 во втората група.

$$4x\left(x-1\right)-\left(x-1\right)$$

Факторирај го заедничкиот термин x-1 со помош на дистрибутивно својство.

$$\left(x-1\right)\left(4x-1\right)$$

За да најдете решенија за равенката, решете ги x-1=0 и 4x-1=0.

$$x=1 x=\frac{1}{4}$$

Чекори за користење на формулата за квадратна равенка

Сите равенки што ја имаат формата ax^{2}+bx+c=0 може да се решат со формулата за квадратна равенка: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Формулата за квадратна равенка дава две решенија, едно кога ± е собирање, а друго кога е одземање.

$$4x^{2}-5x+1=0$$

Оваа равенка е во стандардна форма: ax^{2}+bx+c=0. Ставете 4 за a, -5 за b и 1 за c во формулата за квадратна равенка \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\times 4}}{2\times 4}$$

Квадрат од -5.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-4\times 4}}{2\times 4}$$

Множење на -4 со 4.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-16}}{2\times 4}$$

Собирање на 25 и -16.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{9}}{2\times 4}$$

Вадење квадратен корен од 9.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±3}{2\times 4}$$

Спротивно на -5 е 5.

$$x=\frac{5±3}{2\times 4}$$

Множење на 2 со 4.

$$x=\frac{5±3}{8}$$

Сега решете ја равенката x=\frac{5±3}{8} кога ± ќе биде плус. Собирање на 5 и 3.

$$x=\frac{8}{8}$$

Делење на 8 со 8.

$$x=1$$

Сега решете ја равенката x=\frac{5±3}{8} кога ± ќе биде минус. Одземање на 3 од 5.

$$x=\frac{2}{8}$$

Намалете ја дропката \frac{2}{8} до најниските услови со извлекување и откажување на 2.

$$x=\frac{1}{4}$$

Равенката сега е решена.

$$x=1 x=\frac{1}{4}$$

Чекори за пополнување на квадратот

Квадратните равенки како оваа може да се решат со пополнување на квадратот. За да го пополните, равенката прво мора да биде во формата x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}-5x+1=0$$

Одземање на 1 од двете страни на равенката.

$$4x^{2}-5x+1-1=-1$$

Ако одземете 1 од истиот број, ќе остане 0.

$$4x^{2}-5x=-1$$

Поделете ги двете страни со 4.

$$\frac{4x^{2}-5x}{4}=-\frac{1}{4}$$

Ако поделите со 4, ќе се врати множењето со 4.

$$x^{2}-\frac{5}{4}x=-\frac{1}{4}$$

Поделете го -\frac{5}{4}, коефициентот на членот x, со 2 за да добиете -\frac{5}{8}. Потоа додајте го квадратот од -\frac{5}{8} на двете страни од равенката. Овој чекор ќе ја направи левата страна на равенката совршен квадрат.

$$x^{2}-\frac{5}{4}x+\left(-\frac{5}{8}\right)^{2}=-\frac{1}{4}+\left(-\frac{5}{8}\right)^{2}$$

Кренете -\frac{5}{8} на квадрат со кревање и на броителот и на именителот на дропката на квадрат.

$$x^{2}-\frac{5}{4}x+\frac{25}{64}=-\frac{1}{4}+\frac{25}{64}$$

Соберете ги -\frac{1}{4} и \frac{25}{64} со наоѓање на заедничкиот именител и собирање на броителите. Потоа намалете ја дропката на најмалите членови ако е можно.

$$x^{2}-\frac{5}{4}x+\frac{25}{64}=\frac{9}{64}$$

Фактор x^{2}-\frac{5}{4}x+\frac{25}{64}. Генерално, кога x^{2}+bx+c е совршен квадрат, може секогаш да се факторира како \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{5}{8}\right)^{2}=\frac{9}{64}$$

Извадете квадратен корен од двете страни на равенката.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{64}}$$

Поедноставување.

$$x-\frac{5}{8}=\frac{3}{8} x-\frac{5}{8}=-\frac{3}{8}$$

Додавање на \frac{5}{8} на двете страни на равенката.

$$x=1 x=\frac{1}{4}$$