Решете 4x^2-4x+1=0

$$4 x ^ { 2 } - 4 x + 1 = 0$$

Реши за x

$$x=\frac{1}{2}=0,5$$

Чекори за употреба на факторирање со групирање

За да ја решите равенката, факторирајте ја левата страна со групирање. Прво, левата страна треба да се препише како 4x^{2}+ax+bx+1. За да ги најдете a и b, поставете систем за решавање.

$$a+b=-4 ab=4\times 1=4$$

Бидејќи ab е позитивно, a и b го имаат истиот знак. Бидејќи a+b е негативно, и a и b се негативни. Наведете ги сите парови цели броеви што даваат производ 4.

$$-1,-4 -2,-2$$

Пресметајте го збирот за секој пар.

$$-1-4=-5 -2-2=-4$$

Решението е парот што дава збир -4.

$$a=-2 b=-2$$

Препиши го 4x^{2}-4x+1 како \left(4x^{2}-2x\right)+\left(-2x+1\right).

$$\left(4x^{2}-2x\right)+\left(-2x+1\right)$$

Исклучете го факторот 2x во првата група и -1 во втората група.

$$2x\left(2x-1\right)-\left(2x-1\right)$$

Факторирај го заедничкиот термин 2x-1 со помош на дистрибутивно својство.

$$\left(2x-1\right)\left(2x-1\right)$$

Препишување како биномен квадрат.

$$\left(2x-1\right)^{2}$$

За да најдете решение за равенката, решете ја 2x-1=0.

$$x=\frac{1}{2}$$

Чекори за користење на формулата за квадратна равенка

Сите равенки што ја имаат формата ax^{2}+bx+c=0 може да се решат со формулата за квадратна равенка: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Формулата за квадратна равенка дава две решенија, едно кога ± е собирање, а друго кога е одземање.

$$4x^{2}-4x+1=0$$

Оваа равенка е во стандардна форма: ax^{2}+bx+c=0. Ставете 4 за a, -4 за b и 1 за c во формулата за квадратна равенка \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\times 4}}{2\times 4}$$

Квадрат од -4.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-4\times 4}}{2\times 4}$$

Множење на -4 со 4.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-16}}{2\times 4}$$

Собирање на 16 и -16.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{0}}{2\times 4}$$

Вадење квадратен корен од 0.

$$x=-\frac{-4}{2\times 4}$$

Спротивно на -4 е 4.

$$x=\frac{4}{2\times 4}$$

Множење на 2 со 4.

$$x=\frac{4}{8}$$

Намалете ја дропката \frac{4}{8} до најниските услови со извлекување и откажување на 4.

$$x=\frac{1}{2}$$

Чекори за пополнување на квадратот

Квадратните равенки како оваа може да се решат со пополнување на квадратот. За да го пополните, равенката прво мора да биде во формата x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}-4x+1=0$$

Одземање на 1 од двете страни на равенката.

$$4x^{2}-4x+1-1=-1$$

Ако одземете 1 од истиот број, ќе остане 0.

$$4x^{2}-4x=-1$$

Поделете ги двете страни со 4.

$$\frac{4x^{2}-4x}{4}=-\frac{1}{4}$$

Ако поделите со 4, ќе се врати множењето со 4.

$$x^{2}+\left(-\frac{4}{4}\right)x=-\frac{1}{4}$$

Делење на -4 со 4.

$$x^{2}-x=-\frac{1}{4}$$

Поделете го -1, коефициентот на членот x, со 2 за да добиете -\frac{1}{2}. Потоа додајте го квадратот од -\frac{1}{2} на двете страни од равенката. Овој чекор ќе ја направи левата страна на равенката совршен квадрат.

$$x^{2}-x+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=-\frac{1}{4}+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Кренете -\frac{1}{2} на квадрат со кревање и на броителот и на именителот на дропката на квадрат.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=\frac{-1+1}{4}$$

Соберете ги -\frac{1}{4} и \frac{1}{4} со наоѓање на заедничкиот именител и собирање на броителите. Потоа намалете ја дропката на најмалите членови ако е можно.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=0$$

Фактор x^{2}-x+\frac{1}{4}. Генерално, кога x^{2}+bx+c е совршен квадрат, може секогаш да се факторира како \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}=0$$

Извадете квадратен корен од двете страни на равенката.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{0}$$

Поедноставување.

$$x-\frac{1}{2}=0 x-\frac{1}{2}=0$$

Додавање на \frac{1}{2} на двете страни на равенката.

$$x=\frac{1}{2} x=\frac{1}{2}$$

Равенката сега е решена. Решенијата се исти.

$$x=\frac{1}{2}$$