Решете 4x^2-14x=9

$$4 x ^ { 2 } - 14 x = 9$$

Реши за x

$$x = \frac{\sqrt{85} + 7}{4} \approx 4,054886114$$

$$x=\frac{7-\sqrt{85}}{4}\approx -0,554886114$$

Чекори за користење на формулата за квадратна равенка

Сите равенки што ја имаат формата ax^{2}+bx+c=0 може да се решат со формулата за квадратна равенка: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Формулата за квадратна равенка дава две решенија, едно кога ± е собирање, а друго кога е одземање.

$$4x^{2}-14x=9$$

Одземање на 9 од двете страни на равенката.

$$4x^{2}-14x-9=9-9$$

Ако одземете 9 од истиот број, ќе остане 0.

$$4x^{2}-14x-9=0$$

Оваа равенка е во стандардна форма: ax^{2}+bx+c=0. Ставете 4 за a, -14 за b и -9 за c во формулата за квадратна равенка \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{\left(-14\right)^{2}-4\times 4\left(-9\right)}}{2\times 4}$$

Квадрат од -14.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-4\times 4\left(-9\right)}}{2\times 4}$$

Множење на -4 со 4.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-16\left(-9\right)}}{2\times 4}$$

Множење на -16 со -9.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196+144}}{2\times 4}$$

Собирање на 196 и 144.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{340}}{2\times 4}$$

Вадење квадратен корен од 340.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±2\sqrt{85}}{2\times 4}$$

Спротивно на -14 е 14.

$$x=\frac{14±2\sqrt{85}}{2\times 4}$$

Множење на 2 со 4.

$$x=\frac{14±2\sqrt{85}}{8}$$

Сега решете ја равенката x=\frac{14±2\sqrt{85}}{8} кога ± ќе биде плус. Собирање на 14 и 2\sqrt{85}.

$$x=\frac{2\sqrt{85}+14}{8}$$

Делење на 14+2\sqrt{85} со 8.

$$x=\frac{\sqrt{85}+7}{4}$$

Сега решете ја равенката x=\frac{14±2\sqrt{85}}{8} кога ± ќе биде минус. Одземање на 2\sqrt{85} од 14.

$$x=\frac{14-2\sqrt{85}}{8}$$

Делење на 14-2\sqrt{85} со 8.

$$x=\frac{7-\sqrt{85}}{4}$$

Равенката сега е решена.

$$x=\frac{\sqrt{85}+7}{4} x=\frac{7-\sqrt{85}}{4}$$

Чекори за пополнување на квадратот

Квадратните равенки како оваа може да се решат со пополнување на квадратот. За да го пополните, равенката прво мора да биде во формата x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}-14x=9$$

Поделете ги двете страни со 4.

$$\frac{4x^{2}-14x}{4}=\frac{9}{4}$$

Ако поделите со 4, ќе се врати множењето со 4.

$$x^{2}+\left(-\frac{14}{4}\right)x=\frac{9}{4}$$

Намалете ја дропката \frac{-14}{4} до најниските услови со извлекување и откажување на 2.

$$x^{2}-\frac{7}{2}x=\frac{9}{4}$$

Поделете го -\frac{7}{2}, коефициентот на членот x, со 2 за да добиете -\frac{7}{4}. Потоа додајте го квадратот од -\frac{7}{4} на двете страни од равенката. Овој чекор ќе ја направи левата страна на равенката совршен квадрат.

$$x^{2}-\frac{7}{2}x+\left(-\frac{7}{4}\right)^{2}=\frac{9}{4}+\left(-\frac{7}{4}\right)^{2}$$

Кренете -\frac{7}{4} на квадрат со кревање и на броителот и на именителот на дропката на квадрат.

$$x^{2}-\frac{7}{2}x+\frac{49}{16}=\frac{9}{4}+\frac{49}{16}$$

Соберете ги \frac{9}{4} и \frac{49}{16} со наоѓање на заедничкиот именител и собирање на броителите. Потоа намалете ја дропката на најмалите членови ако е можно.

$$x^{2}-\frac{7}{2}x+\frac{49}{16}=\frac{85}{16}$$

Фактор x^{2}-\frac{7}{2}x+\frac{49}{16}. Генерално, кога x^{2}+bx+c е совршен квадрат, може секогаш да се факторира како \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{7}{4}\right)^{2}=\frac{85}{16}$$

Извадете квадратен корен од двете страни на равенката.

$$\sqrt{\left(x-\frac{7}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{85}{16}}$$

Поедноставување.

$$x-\frac{7}{4}=\frac{\sqrt{85}}{4} x-\frac{7}{4}=-\frac{\sqrt{85}}{4}$$

Додавање на \frac{7}{4} на двете страни на равенката.

$$x=\frac{\sqrt{85}+7}{4} x=\frac{7-\sqrt{85}}{4}$$