Решете 4x^2-12x-27=0

$$4 x ^ { 2 } - 12 x - 27 = 0$$

Реши за x

$$x = -\frac{3}{2} = -1\frac{1}{2} = -1,5$$

$$x = \frac{9}{2} = 4\frac{1}{2} = 4,5$$

Чекори за употреба на факторирање со групирање

За да ја решите равенката, факторирајте ја левата страна со групирање. Прво, левата страна треба да се препише како 4x^{2}+ax+bx-27. За да ги најдете a и b, поставете систем за решавање.

$$a+b=-12 ab=4\left(-27\right)=-108$$

Бидејќи ab е негативно, a и b имаат спротивни знаци. Бидејќи a+b е негативно, негативниот број има поголема апсолутна вредност од позитивниот. Наведете ги сите парови цели броеви што даваат производ -108.

$$1,-108 2,-54 3,-36 4,-27 6,-18 9,-12$$

Пресметајте го збирот за секој пар.

$$1-108=-107 2-54=-52 3-36=-33 4-27=-23 6-18=-12 9-12=-3$$

Решението е парот што дава збир -12.

$$a=-18 b=6$$

Препиши го 4x^{2}-12x-27 како \left(4x^{2}-18x\right)+\left(6x-27\right).

$$\left(4x^{2}-18x\right)+\left(6x-27\right)$$

Исклучете го факторот 2x во првата група и 3 во втората група.

$$2x\left(2x-9\right)+3\left(2x-9\right)$$

Факторирај го заедничкиот термин 2x-9 со помош на дистрибутивно својство.

$$\left(2x-9\right)\left(2x+3\right)$$

За да најдете решенија за равенката, решете ги 2x-9=0 и 2x+3=0.

$$x=\frac{9}{2} x=-\frac{3}{2}$$

Чекори за користење на формулата за квадратна равенка

Сите равенки што ја имаат формата ax^{2}+bx+c=0 може да се решат со формулата за квадратна равенка: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Формулата за квадратна равенка дава две решенија, едно кога ± е собирање, а друго кога е одземање.

$$4x^{2}-12x-27=0$$

Оваа равенка е во стандардна форма: ax^{2}+bx+c=0. Ставете 4 за a, -12 за b и -27 за c во формулата за квадратна равенка \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{\left(-12\right)^{2}-4\times 4\left(-27\right)}}{2\times 4}$$

Квадрат од -12.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-4\times 4\left(-27\right)}}{2\times 4}$$

Множење на -4 со 4.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-16\left(-27\right)}}{2\times 4}$$

Множење на -16 со -27.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144+432}}{2\times 4}$$

Собирање на 144 и 432.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{576}}{2\times 4}$$

Вадење квадратен корен од 576.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±24}{2\times 4}$$

Спротивно на -12 е 12.

$$x=\frac{12±24}{2\times 4}$$

Множење на 2 со 4.

$$x=\frac{12±24}{8}$$

Сега решете ја равенката x=\frac{12±24}{8} кога ± ќе биде плус. Собирање на 12 и 24.

$$x=\frac{36}{8}$$

Намалете ја дропката \frac{36}{8} до најниските услови со извлекување и откажување на 4.

$$x=\frac{9}{2}$$

Сега решете ја равенката x=\frac{12±24}{8} кога ± ќе биде минус. Одземање на 24 од 12.

$$x=-\frac{12}{8}$$

Намалете ја дропката \frac{-12}{8} до најниските услови со извлекување и откажување на 4.

$$x=-\frac{3}{2}$$

Равенката сега е решена.

$$x=\frac{9}{2} x=-\frac{3}{2}$$

Чекори за пополнување на квадратот

Квадратните равенки како оваа може да се решат со пополнување на квадратот. За да го пополните, равенката прво мора да биде во формата x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}-12x-27=0$$

Додавање на 27 на двете страни на равенката.

$$4x^{2}-12x-27-\left(-27\right)=-\left(-27\right)$$

Ако одземете -27 од истиот број, ќе остане 0.

$$4x^{2}-12x=-\left(-27\right)$$

Одземање на -27 од 0.

$$4x^{2}-12x=27$$

Поделете ги двете страни со 4.

$$\frac{4x^{2}-12x}{4}=\frac{27}{4}$$

Ако поделите со 4, ќе се врати множењето со 4.

$$x^{2}+\left(-\frac{12}{4}\right)x=\frac{27}{4}$$

Делење на -12 со 4.

$$x^{2}-3x=\frac{27}{4}$$

Поделете го -3, коефициентот на членот x, со 2 за да добиете -\frac{3}{2}. Потоа додајте го квадратот од -\frac{3}{2} на двете страни од равенката. Овој чекор ќе ја направи левата страна на равенката совршен квадрат.

$$x^{2}-3x+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{27}{4}+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}$$

Кренете -\frac{3}{2} на квадрат со кревање и на броителот и на именителот на дропката на квадрат.

$$x^{2}-3x+\frac{9}{4}=\frac{27+9}{4}$$

Соберете ги \frac{27}{4} и \frac{9}{4} со наоѓање на заедничкиот именител и собирање на броителите. Потоа намалете ја дропката на најмалите членови ако е можно.

$$x^{2}-3x+\frac{9}{4}=9$$

Фактор x^{2}-3x+\frac{9}{4}. Генерално, кога x^{2}+bx+c е совршен квадрат, може секогаш да се факторира како \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}=9$$

Извадете квадратен корен од двете страни на равенката.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{9}$$

Поедноставување.

$$x-\frac{3}{2}=3 x-\frac{3}{2}=-3$$

Додавање на \frac{3}{2} на двете страни на равенката.

$$x=\frac{9}{2} x=-\frac{3}{2}$$