Решете 4x^2+48x-81=0

$$4 x ^ { 2 } + 48 x - 81 = 0$$

Реши за x

$$x = -\frac{27}{2} = -13\frac{1}{2} = -13,5$$

$$x = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} = 1,5$$

Чекори за употреба на факторирање со групирање

За да ја решите равенката, факторирајте ја левата страна со групирање. Прво, левата страна треба да се препише како 4x^{2}+ax+bx-81. За да ги најдете a и b, поставете систем за решавање.

$$a+b=48 ab=4\left(-81\right)=-324$$

Бидејќи ab е негативно, a и b имаат спротивни знаци. Бидејќи a+b е позитивно, позитивниот број има поголема апсолутна вредност од негативниот. Наведете ги сите парови цели броеви што даваат производ -324.

$$-1,324 -2,162 -3,108 -4,81 -6,54 -9,36 -12,27 -18,18$$

Пресметајте го збирот за секој пар.

$$-1+324=323 -2+162=160 -3+108=105 -4+81=77 -6+54=48 -9+36=27 -12+27=15 -18+18=0$$

Решението е парот што дава збир 48.

$$a=-6 b=54$$

Препиши го 4x^{2}+48x-81 како \left(4x^{2}-6x\right)+\left(54x-81\right).

$$\left(4x^{2}-6x\right)+\left(54x-81\right)$$

Исклучете го факторот 2x во првата група и 27 во втората група.

$$2x\left(2x-3\right)+27\left(2x-3\right)$$

Факторирај го заедничкиот термин 2x-3 со помош на дистрибутивно својство.

$$\left(2x-3\right)\left(2x+27\right)$$

За да најдете решенија за равенката, решете ги 2x-3=0 и 2x+27=0.

$$x=\frac{3}{2} x=-\frac{27}{2}$$

Чекори за користење на формулата за квадратна равенка

Сите равенки што ја имаат формата ax^{2}+bx+c=0 може да се решат со формулата за квадратна равенка: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Формулата за квадратна равенка дава две решенија, едно кога ± е собирање, а друго кога е одземање.

$$4x^{2}+48x-81=0$$

Оваа равенка е во стандардна форма: ax^{2}+bx+c=0. Ставете 4 за a, 48 за b и -81 за c во формулата за квадратна равенка \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-48±\sqrt{48^{2}-4\times 4\left(-81\right)}}{2\times 4}$$

Квадрат од 48.

$$x=\frac{-48±\sqrt{2304-4\times 4\left(-81\right)}}{2\times 4}$$

Множење на -4 со 4.

$$x=\frac{-48±\sqrt{2304-16\left(-81\right)}}{2\times 4}$$

Множење на -16 со -81.

$$x=\frac{-48±\sqrt{2304+1296}}{2\times 4}$$

Собирање на 2304 и 1296.

$$x=\frac{-48±\sqrt{3600}}{2\times 4}$$

Вадење квадратен корен од 3600.

$$x=\frac{-48±60}{2\times 4}$$

Множење на 2 со 4.

$$x=\frac{-48±60}{8}$$

Сега решете ја равенката x=\frac{-48±60}{8} кога ± ќе биде плус. Собирање на -48 и 60.

$$x=\frac{12}{8}$$

Намалете ја дропката \frac{12}{8} до најниските услови со извлекување и откажување на 4.

$$x=\frac{3}{2}$$

Сега решете ја равенката x=\frac{-48±60}{8} кога ± ќе биде минус. Одземање на 60 од -48.

$$x=-\frac{108}{8}$$

Намалете ја дропката \frac{-108}{8} до најниските услови со извлекување и откажување на 4.

$$x=-\frac{27}{2}$$

Равенката сега е решена.

$$x=\frac{3}{2} x=-\frac{27}{2}$$

Чекори за пополнување на квадратот

Квадратните равенки како оваа може да се решат со пополнување на квадратот. За да го пополните, равенката прво мора да биде во формата x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}+48x-81=0$$

Додавање на 81 на двете страни на равенката.

$$4x^{2}+48x-81-\left(-81\right)=-\left(-81\right)$$

Ако одземете -81 од истиот број, ќе остане 0.

$$4x^{2}+48x=-\left(-81\right)$$

Одземање на -81 од 0.

$$4x^{2}+48x=81$$

Поделете ги двете страни со 4.

$$\frac{4x^{2}+48x}{4}=\frac{81}{4}$$

Ако поделите со 4, ќе се врати множењето со 4.

$$x^{2}+\frac{48}{4}x=\frac{81}{4}$$

Делење на 48 со 4.

$$x^{2}+12x=\frac{81}{4}$$

Поделете го 12, коефициентот на членот x, со 2 за да добиете 6. Потоа додајте го квадратот од 6 на двете страни од равенката. Овој чекор ќе ја направи левата страна на равенката совршен квадрат.

$$x^{2}+12x+6^{2}=\frac{81}{4}+6^{2}$$

Квадрат од 6.

$$x^{2}+12x+36=\frac{81}{4}+36$$

Собирање на \frac{81}{4} и 36.

$$x^{2}+12x+36=\frac{225}{4}$$

Фактор x^{2}+12x+36. Генерално, кога x^{2}+bx+c е совршен квадрат, може секогаш да се факторира како \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+6\right)^{2}=\frac{225}{4}$$

Извадете квадратен корен од двете страни на равенката.

$$\sqrt{\left(x+6\right)^{2}}=\sqrt{\frac{225}{4}}$$

Поедноставување.

$$x+6=\frac{15}{2} x+6=-\frac{15}{2}$$

Одземање на 6 од двете страни на равенката.

$$x=\frac{3}{2} x=-\frac{27}{2}$$