Решете 4x^2+4x+9=0

$$4 x ^ { 2 } + 4 x + 9 = 0$$

Реши за x (complex solution)

$$x=-\frac{1}{2}+\sqrt{2}i\approx -0,5+1,414213562i$$

$$x=-\sqrt{2}i-\frac{1}{2}\approx -0,5-1,414213562i$$

Чекори за користење на формулата за квадратна равенка

Сите равенки што ја имаат формата ax^{2}+bx+c=0 може да се решат со формулата за квадратна равенка: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Формулата за квадратна равенка дава две решенија, едно кога ± е собирање, а друго кога е одземање.

$$4x^{2}+4x+9=0$$

Оваа равенка е во стандардна форма: ax^{2}+bx+c=0. Ставете 4 за a, 4 за b и 9 за c во формулата за квадратна равенка \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\times 4\times 9}}{2\times 4}$$

Квадрат од 4.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-4\times 4\times 9}}{2\times 4}$$

Множење на -4 со 4.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-16\times 9}}{2\times 4}$$

Множење на -16 со 9.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-144}}{2\times 4}$$

Собирање на 16 и -144.

$$x=\frac{-4±\sqrt{-128}}{2\times 4}$$

Вадење квадратен корен од -128.

$$x=\frac{-4±8\sqrt{2}i}{2\times 4}$$

Множење на 2 со 4.

$$x=\frac{-4±8\sqrt{2}i}{8}$$

Сега решете ја равенката x=\frac{-4±8\sqrt{2}i}{8} кога ± ќе биде плус. Собирање на -4 и 8i\sqrt{2}.

$$x=\frac{-4+2\times 2^{\frac{5}{2}}i}{8}$$

Делење на -4+2i\times 2^{\frac{5}{2}} со 8.

$$x=-\frac{1}{2}+\sqrt{2}i$$

Сега решете ја равенката x=\frac{-4±8\sqrt{2}i}{8} кога ± ќе биде минус. Одземање на 8i\sqrt{2} од -4.

$$x=\frac{-2\times 2^{\frac{5}{2}}i-4}{8}$$

Делење на -4-2i\times 2^{\frac{5}{2}} со 8.

$$x=-\sqrt{2}i-\frac{1}{2}$$

Равенката сега е решена.

$$x=-\frac{1}{2}+\sqrt{2}i x=-\sqrt{2}i-\frac{1}{2}$$

Чекори за пополнување на квадратот

Квадратните равенки како оваа може да се решат со пополнување на квадратот. За да го пополните, равенката прво мора да биде во формата x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}+4x+9=0$$

Одземање на 9 од двете страни на равенката.

$$4x^{2}+4x+9-9=-9$$

Ако одземете 9 од истиот број, ќе остане 0.

$$4x^{2}+4x=-9$$

Поделете ги двете страни со 4.

$$\frac{4x^{2}+4x}{4}=-\frac{9}{4}$$

Ако поделите со 4, ќе се врати множењето со 4.

$$x^{2}+\frac{4}{4}x=-\frac{9}{4}$$

Делење на 4 со 4.

$$x^{2}+x=-\frac{9}{4}$$

Поделете го 1, коефициентот на членот x, со 2 за да добиете \frac{1}{2}. Потоа додајте го квадратот од \frac{1}{2} на двете страни од равенката. Овој чекор ќе ја направи левата страна на равенката совршен квадрат.

$$x^{2}+x+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=-\frac{9}{4}+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Кренете \frac{1}{2} на квадрат со кревање и на броителот и на именителот на дропката на квадрат.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=\frac{-9+1}{4}$$

Соберете ги -\frac{9}{4} и \frac{1}{4} со наоѓање на заедничкиот именител и собирање на броителите. Потоа намалете ја дропката на најмалите членови ако е можно.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=-2$$

Фактор x^{2}+x+\frac{1}{4}. Генерално, кога x^{2}+bx+c е совршен квадрат, може секогаш да се факторира како \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}=-2$$

Извадете квадратен корен од двете страни на равенката.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{-2}$$

Поедноставување.

$$x+\frac{1}{2}=\sqrt{2}i x+\frac{1}{2}=-\sqrt{2}i$$

Одземање на \frac{1}{2} од двете страни на равенката.

$$x=-\frac{1}{2}+\sqrt{2}i x=-\sqrt{2}i-\frac{1}{2}$$