Решете 4x^2+4x+1=0

$$4 x ^ { 2 } + 4 x + 1 = 0$$

Реши за x

$$x=-\frac{1}{2}=-0,5$$

Чекори за употреба на факторирање со групирање

За да ја решите равенката, факторирајте ја левата страна со групирање. Прво, левата страна треба да се препише како 4x^{2}+ax+bx+1. За да ги најдете a и b, поставете систем за решавање.

$$a+b=4 ab=4\times 1=4$$

Бидејќи ab е позитивно, a и b го имаат истиот знак. Бидејќи a+b е позитивно, и a и b се позитивни. Наведете ги сите парови цели броеви што даваат производ 4.

$$1,4 2,2$$

Пресметајте го збирот за секој пар.

$$1+4=5 2+2=4$$

Решението е парот што дава збир 4.

$$a=2 b=2$$

Препиши го 4x^{2}+4x+1 како \left(4x^{2}+2x\right)+\left(2x+1\right).

$$\left(4x^{2}+2x\right)+\left(2x+1\right)$$

Факторирај го 2x во 4x^{2}+2x.

$$2x\left(2x+1\right)+2x+1$$

Факторирај го заедничкиот термин 2x+1 со помош на дистрибутивно својство.

$$\left(2x+1\right)\left(2x+1\right)$$

Препишување како биномен квадрат.

$$\left(2x+1\right)^{2}$$

За да најдете решение за равенката, решете ја 2x+1=0.

$$x=-\frac{1}{2}$$

Чекори за користење на формулата за квадратна равенка

Сите равенки што ја имаат формата ax^{2}+bx+c=0 може да се решат со формулата за квадратна равенка: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Формулата за квадратна равенка дава две решенија, едно кога ± е собирање, а друго кога е одземање.

$$4x^{2}+4x+1=0$$

Оваа равенка е во стандардна форма: ax^{2}+bx+c=0. Ставете 4 за a, 4 за b и 1 за c во формулата за квадратна равенка \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\times 4}}{2\times 4}$$

Квадрат од 4.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-4\times 4}}{2\times 4}$$

Множење на -4 со 4.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-16}}{2\times 4}$$

Собирање на 16 и -16.

$$x=\frac{-4±\sqrt{0}}{2\times 4}$$

Вадење квадратен корен од 0.

$$x=-\frac{4}{2\times 4}$$

Множење на 2 со 4.

$$x=-\frac{4}{8}$$

Намалете ја дропката \frac{-4}{8} до најниските услови со извлекување и откажување на 4.

$$x=-\frac{1}{2}$$

Чекори за пополнување на квадратот

Квадратните равенки како оваа може да се решат со пополнување на квадратот. За да го пополните, равенката прво мора да биде во формата x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}+4x+1=0$$

Одземање на 1 од двете страни на равенката.

$$4x^{2}+4x+1-1=-1$$

Ако одземете 1 од истиот број, ќе остане 0.

$$4x^{2}+4x=-1$$

Поделете ги двете страни со 4.

$$\frac{4x^{2}+4x}{4}=-\frac{1}{4}$$

Ако поделите со 4, ќе се врати множењето со 4.

$$x^{2}+\frac{4}{4}x=-\frac{1}{4}$$

Делење на 4 со 4.

$$x^{2}+x=-\frac{1}{4}$$

Поделете го 1, коефициентот на членот x, со 2 за да добиете \frac{1}{2}. Потоа додајте го квадратот од \frac{1}{2} на двете страни од равенката. Овој чекор ќе ја направи левата страна на равенката совршен квадрат.

$$x^{2}+x+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=-\frac{1}{4}+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Кренете \frac{1}{2} на квадрат со кревање и на броителот и на именителот на дропката на квадрат.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=\frac{-1+1}{4}$$

Соберете ги -\frac{1}{4} и \frac{1}{4} со наоѓање на заедничкиот именител и собирање на броителите. Потоа намалете ја дропката на најмалите членови ако е можно.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=0$$

Фактор x^{2}+x+\frac{1}{4}. Генерално, кога x^{2}+bx+c е совршен квадрат, може секогаш да се факторира како \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}=0$$

Извадете квадратен корен од двете страни на равенката.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{0}$$

Поедноставување.

$$x+\frac{1}{2}=0 x+\frac{1}{2}=0$$

Одземање на \frac{1}{2} од двете страни на равенката.

$$x=-\frac{1}{2} x=-\frac{1}{2}$$

Равенката сега е решена. Решенијата се исти.

$$x=-\frac{1}{2}$$