Решете 4x^2+2x+1=21

$$4 x ^ { 2 } + 2 x + 1 = 21$$

Реши за x

$$x = -\frac{5}{2} = -2\frac{1}{2} = -2,5$$

$$x=2$$

Чекори за употреба на факторирање со групирање

Одземете 21 од двете страни.

$$4x^{2}+2x+1-21=0$$

Одземете 21 од 1 за да добиете -20.

$$4x^{2}+2x-20=0$$

Поделете ги двете страни со 2.

$$2x^{2}+x-10=0$$

За да ја решите равенката, факторирајте ја левата страна со групирање. Прво, левата страна треба да се препише како 2x^{2}+ax+bx-10. За да ги најдете a и b, поставете систем за решавање.

$$a+b=1 ab=2\left(-10\right)=-20$$

Бидејќи ab е негативно, a и b имаат спротивни знаци. Бидејќи a+b е позитивно, позитивниот број има поголема апсолутна вредност од негативниот. Наведете ги сите парови цели броеви што даваат производ -20.

$$-1,20 -2,10 -4,5$$

Пресметајте го збирот за секој пар.

$$-1+20=19 -2+10=8 -4+5=1$$

Решението е парот што дава збир 1.

$$a=-4 b=5$$

Препиши го 2x^{2}+x-10 како \left(2x^{2}-4x\right)+\left(5x-10\right).

$$\left(2x^{2}-4x\right)+\left(5x-10\right)$$

Исклучете го факторот 2x во првата група и 5 во втората група.

$$2x\left(x-2\right)+5\left(x-2\right)$$

Факторирај го заедничкиот термин x-2 со помош на дистрибутивно својство.

$$\left(x-2\right)\left(2x+5\right)$$

За да најдете решенија за равенката, решете ги x-2=0 и 2x+5=0.

$$x=2 x=-\frac{5}{2}$$

Чекори за користење на формулата за квадратна равенка

Сите равенки што ја имаат формата ax^{2}+bx+c=0 може да се решат со формулата за квадратна равенка: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Формулата за квадратна равенка дава две решенија, едно кога ± е собирање, а друго кога е одземање.

$$4x^{2}+2x+1=21$$

Одземање на 21 од двете страни на равенката.

$$4x^{2}+2x+1-21=21-21$$

Ако одземете 21 од истиот број, ќе остане 0.

$$4x^{2}+2x+1-21=0$$

Одземање на 21 од 1.

$$4x^{2}+2x-20=0$$

Оваа равенка е во стандардна форма: ax^{2}+bx+c=0. Ставете 4 за a, 2 за b и -20 за c во формулата за квадратна равенка \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-2±\sqrt{2^{2}-4\times 4\left(-20\right)}}{2\times 4}$$

Квадрат од 2.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-4\times 4\left(-20\right)}}{2\times 4}$$

Множење на -4 со 4.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-16\left(-20\right)}}{2\times 4}$$

Множење на -16 со -20.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4+320}}{2\times 4}$$

Собирање на 4 и 320.

$$x=\frac{-2±\sqrt{324}}{2\times 4}$$

Вадење квадратен корен од 324.

$$x=\frac{-2±18}{2\times 4}$$

Множење на 2 со 4.

$$x=\frac{-2±18}{8}$$

Сега решете ја равенката x=\frac{-2±18}{8} кога ± ќе биде плус. Собирање на -2 и 18.

$$x=\frac{16}{8}$$

Делење на 16 со 8.

$$x=2$$

Сега решете ја равенката x=\frac{-2±18}{8} кога ± ќе биде минус. Одземање на 18 од -2.

$$x=-\frac{20}{8}$$

Намалете ја дропката \frac{-20}{8} до најниските услови со извлекување и откажување на 4.

$$x=-\frac{5}{2}$$

Равенката сега е решена.

$$x=2 x=-\frac{5}{2}$$

Чекори за пополнување на квадратот

Квадратните равенки како оваа може да се решат со пополнување на квадратот. За да го пополните, равенката прво мора да биде во формата x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}+2x+1=21$$

Одземање на 1 од двете страни на равенката.

$$4x^{2}+2x+1-1=21-1$$

Ако одземете 1 од истиот број, ќе остане 0.

$$4x^{2}+2x=21-1$$

Одземање на 1 од 21.

$$4x^{2}+2x=20$$

Поделете ги двете страни со 4.

$$\frac{4x^{2}+2x}{4}=\frac{20}{4}$$

Ако поделите со 4, ќе се врати множењето со 4.

$$x^{2}+\frac{2}{4}x=\frac{20}{4}$$

Намалете ја дропката \frac{2}{4} до најниските услови со извлекување и откажување на 2.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x=\frac{20}{4}$$

Делење на 20 со 4.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x=5$$

Поделете го \frac{1}{2}, коефициентот на членот x, со 2 за да добиете \frac{1}{4}. Потоа додајте го квадратот од \frac{1}{4} на двете страни од равенката. Овој чекор ќе ја направи левата страна на равенката совршен квадрат.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x+\left(\frac{1}{4}\right)^{2}=5+\left(\frac{1}{4}\right)^{2}$$

Кренете \frac{1}{4} на квадрат со кревање и на броителот и на именителот на дропката на квадрат.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=5+\frac{1}{16}$$

Собирање на 5 и \frac{1}{16}.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=\frac{81}{16}$$

Фактор x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}. Генерално, кога x^{2}+bx+c е совршен квадрат, може секогаш да се факторира како \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{81}{16}$$

Извадете квадратен корен од двете страни на равенката.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{81}{16}}$$

Поедноставување.

$$x+\frac{1}{4}=\frac{9}{4} x+\frac{1}{4}=-\frac{9}{4}$$

Одземање на \frac{1}{4} од двете страни на равенката.

$$x=2 x=-\frac{5}{2}$$