Решете 4x^2+12x+19=0

$$4 x ^ { 2 } + 12 x + 19 = 0$$

Реши за x (complex solution)

$$x=\frac{-3+\sqrt{10}i}{2}\approx -1,5+1,58113883i$$

$$x=\frac{-\sqrt{10}i-3}{2}\approx -1,5-1,58113883i$$

Чекори за користење на формулата за квадратна равенка

Сите равенки што ја имаат формата ax^{2}+bx+c=0 може да се решат со формулата за квадратна равенка: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Формулата за квадратна равенка дава две решенија, едно кога ± е собирање, а друго кога е одземање.

$$4x^{2}+12x+19=0$$

Оваа равенка е во стандардна форма: ax^{2}+bx+c=0. Ставете 4 за a, 12 за b и 19 за c во формулата за квадратна равенка \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-12±\sqrt{12^{2}-4\times 4\times 19}}{2\times 4}$$

Квадрат од 12.

$$x=\frac{-12±\sqrt{144-4\times 4\times 19}}{2\times 4}$$

Множење на -4 со 4.

$$x=\frac{-12±\sqrt{144-16\times 19}}{2\times 4}$$

Множење на -16 со 19.

$$x=\frac{-12±\sqrt{144-304}}{2\times 4}$$

Собирање на 144 и -304.

$$x=\frac{-12±\sqrt{-160}}{2\times 4}$$

Вадење квадратен корен од -160.

$$x=\frac{-12±4\sqrt{10}i}{2\times 4}$$

Множење на 2 со 4.

$$x=\frac{-12±4\sqrt{10}i}{8}$$

Сега решете ја равенката x=\frac{-12±4\sqrt{10}i}{8} кога ± ќе биде плус. Собирање на -12 и 4i\sqrt{10}.

$$x=\frac{-12+4\sqrt{10}i}{8}$$

Делење на -12+4i\sqrt{10} со 8.

$$x=\frac{-3+\sqrt{10}i}{2}$$

Сега решете ја равенката x=\frac{-12±4\sqrt{10}i}{8} кога ± ќе биде минус. Одземање на 4i\sqrt{10} од -12.

$$x=\frac{-4\sqrt{10}i-12}{8}$$

Делење на -12-4i\sqrt{10} со 8.

$$x=\frac{-\sqrt{10}i-3}{2}$$

Равенката сега е решена.

$$x=\frac{-3+\sqrt{10}i}{2} x=\frac{-\sqrt{10}i-3}{2}$$

Чекори за пополнување на квадратот

Квадратните равенки како оваа може да се решат со пополнување на квадратот. За да го пополните, равенката прво мора да биде во формата x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}+12x+19=0$$

Одземање на 19 од двете страни на равенката.

$$4x^{2}+12x+19-19=-19$$

Ако одземете 19 од истиот број, ќе остане 0.

$$4x^{2}+12x=-19$$

Поделете ги двете страни со 4.

$$\frac{4x^{2}+12x}{4}=-\frac{19}{4}$$

Ако поделите со 4, ќе се врати множењето со 4.

$$x^{2}+\frac{12}{4}x=-\frac{19}{4}$$

Делење на 12 со 4.

$$x^{2}+3x=-\frac{19}{4}$$

Поделете го 3, коефициентот на членот x, со 2 за да добиете \frac{3}{2}. Потоа додајте го квадратот од \frac{3}{2} на двете страни од равенката. Овој чекор ќе ја направи левата страна на равенката совршен квадрат.

$$x^{2}+3x+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}=-\frac{19}{4}+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}$$

Кренете \frac{3}{2} на квадрат со кревање и на броителот и на именителот на дропката на квадрат.

$$x^{2}+3x+\frac{9}{4}=\frac{-19+9}{4}$$

Соберете ги -\frac{19}{4} и \frac{9}{4} со наоѓање на заедничкиот именител и собирање на броителите. Потоа намалете ја дропката на најмалите членови ако е можно.

$$x^{2}+3x+\frac{9}{4}=-\frac{5}{2}$$

Фактор x^{2}+3x+\frac{9}{4}. Генерално, кога x^{2}+bx+c е совршен квадрат, може секогаш да се факторира како \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}=-\frac{5}{2}$$

Извадете квадратен корен од двете страни на равенката.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{5}{2}}$$

Поедноставување.

$$x+\frac{3}{2}=\frac{\sqrt{10}i}{2} x+\frac{3}{2}=-\frac{\sqrt{10}i}{2}$$

Одземање на \frac{3}{2} од двете страни на равенката.

$$x=\frac{-3+\sqrt{10}i}{2} x=\frac{-\sqrt{10}i-3}{2}$$