Решете 4x^2+11x-20=0

$$4 x ^ { 2 } + 11 x - 20 = 0$$

Реши за x

$$x=-4$$

$$x = \frac{5}{4} = 1\frac{1}{4} = 1,25$$

Чекори за употреба на факторирање со групирање

За да ја решите равенката, факторирајте ја левата страна со групирање. Прво, левата страна треба да се препише како 4x^{2}+ax+bx-20. За да ги најдете a и b, поставете систем за решавање.

$$a+b=11 ab=4\left(-20\right)=-80$$

Бидејќи ab е негативно, a и b имаат спротивни знаци. Бидејќи a+b е позитивно, позитивниот број има поголема апсолутна вредност од негативниот. Наведете ги сите парови цели броеви што даваат производ -80.

$$-1,80 -2,40 -4,20 -5,16 -8,10$$

Пресметајте го збирот за секој пар.

$$-1+80=79 -2+40=38 -4+20=16 -5+16=11 -8+10=2$$

Решението е парот што дава збир 11.

$$a=-5 b=16$$

Препиши го 4x^{2}+11x-20 како \left(4x^{2}-5x\right)+\left(16x-20\right).

$$\left(4x^{2}-5x\right)+\left(16x-20\right)$$

Исклучете го факторот x во првата група и 4 во втората група.

$$x\left(4x-5\right)+4\left(4x-5\right)$$

Факторирај го заедничкиот термин 4x-5 со помош на дистрибутивно својство.

$$\left(4x-5\right)\left(x+4\right)$$

За да најдете решенија за равенката, решете ги 4x-5=0 и x+4=0.

$$x=\frac{5}{4} x=-4$$

Чекори за користење на формулата за квадратна равенка

Сите равенки што ја имаат формата ax^{2}+bx+c=0 може да се решат со формулата за квадратна равенка: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Формулата за квадратна равенка дава две решенија, едно кога ± е собирање, а друго кога е одземање.

$$4x^{2}+11x-20=0$$

Оваа равенка е во стандардна форма: ax^{2}+bx+c=0. Ставете 4 за a, 11 за b и -20 за c во формулата за квадратна равенка \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-11±\sqrt{11^{2}-4\times 4\left(-20\right)}}{2\times 4}$$

Квадрат од 11.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-4\times 4\left(-20\right)}}{2\times 4}$$

Множење на -4 со 4.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-16\left(-20\right)}}{2\times 4}$$

Множење на -16 со -20.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121+320}}{2\times 4}$$

Собирање на 121 и 320.

$$x=\frac{-11±\sqrt{441}}{2\times 4}$$

Вадење квадратен корен од 441.

$$x=\frac{-11±21}{2\times 4}$$

Множење на 2 со 4.

$$x=\frac{-11±21}{8}$$

Сега решете ја равенката x=\frac{-11±21}{8} кога ± ќе биде плус. Собирање на -11 и 21.

$$x=\frac{10}{8}$$

Намалете ја дропката \frac{10}{8} до најниските услови со извлекување и откажување на 2.

$$x=\frac{5}{4}$$

Сега решете ја равенката x=\frac{-11±21}{8} кога ± ќе биде минус. Одземање на 21 од -11.

$$x=-\frac{32}{8}$$

Делење на -32 со 8.

$$x=-4$$

Равенката сега е решена.

$$x=\frac{5}{4} x=-4$$

Чекори за пополнување на квадратот

Квадратните равенки како оваа може да се решат со пополнување на квадратот. За да го пополните, равенката прво мора да биде во формата x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}+11x-20=0$$

Додавање на 20 на двете страни на равенката.

$$4x^{2}+11x-20-\left(-20\right)=-\left(-20\right)$$

Ако одземете -20 од истиот број, ќе остане 0.

$$4x^{2}+11x=-\left(-20\right)$$

Одземање на -20 од 0.

$$4x^{2}+11x=20$$

Поделете ги двете страни со 4.

$$\frac{4x^{2}+11x}{4}=\frac{20}{4}$$

Ако поделите со 4, ќе се врати множењето со 4.

$$x^{2}+\frac{11}{4}x=\frac{20}{4}$$

Делење на 20 со 4.

$$x^{2}+\frac{11}{4}x=5$$

Поделете го \frac{11}{4}, коефициентот на членот x, со 2 за да добиете \frac{11}{8}. Потоа додајте го квадратот од \frac{11}{8} на двете страни од равенката. Овој чекор ќе ја направи левата страна на равенката совршен квадрат.

$$x^{2}+\frac{11}{4}x+\left(\frac{11}{8}\right)^{2}=5+\left(\frac{11}{8}\right)^{2}$$

Кренете \frac{11}{8} на квадрат со кревање и на броителот и на именителот на дропката на квадрат.

$$x^{2}+\frac{11}{4}x+\frac{121}{64}=5+\frac{121}{64}$$

Собирање на 5 и \frac{121}{64}.

$$x^{2}+\frac{11}{4}x+\frac{121}{64}=\frac{441}{64}$$

Фактор x^{2}+\frac{11}{4}x+\frac{121}{64}. Генерално, кога x^{2}+bx+c е совршен квадрат, може секогаш да се факторира како \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{11}{8}\right)^{2}=\frac{441}{64}$$

Извадете квадратен корен од двете страни на равенката.

$$\sqrt{\left(x+\frac{11}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{441}{64}}$$

Поедноставување.

$$x+\frac{11}{8}=\frac{21}{8} x+\frac{11}{8}=-\frac{21}{8}$$

Одземање на \frac{11}{8} од двете страни на равенката.

$$x=\frac{5}{4} x=-4$$