Решете 4t^2-43t-11=0

$$4 t ^ { 2 } - 43 t - 11 = 0$$

Реши за t

$$t=-\frac{1}{4}=-0,25$$

$$t=11$$

Чекори за употреба на факторирање со групирање

За да ја решите равенката, факторирајте ја левата страна со групирање. Прво, левата страна треба да се препише како 4t^{2}+at+bt-11. За да ги најдете a и b, поставете систем за решавање.

$$a+b=-43 ab=4\left(-11\right)=-44$$

Бидејќи ab е негативно, a и b имаат спротивни знаци. Бидејќи a+b е негативно, негативниот број има поголема апсолутна вредност од позитивниот. Наведете ги сите парови цели броеви што даваат производ -44.

$$1,-44 2,-22 4,-11$$

Пресметајте го збирот за секој пар.

$$1-44=-43 2-22=-20 4-11=-7$$

Решението е парот што дава збир -43.

$$a=-44 b=1$$

Препиши го 4t^{2}-43t-11 како \left(4t^{2}-44t\right)+\left(t-11\right).

$$\left(4t^{2}-44t\right)+\left(t-11\right)$$

Факторирај го 4t во 4t^{2}-44t.

$$4t\left(t-11\right)+t-11$$

Факторирај го заедничкиот термин t-11 со помош на дистрибутивно својство.

$$\left(t-11\right)\left(4t+1\right)$$

За да најдете решенија за равенката, решете ги t-11=0 и 4t+1=0.

$$t=11 t=-\frac{1}{4}$$

Чекори за користење на формулата за квадратна равенка

Сите равенки што ја имаат формата ax^{2}+bx+c=0 може да се решат со формулата за квадратна равенка: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Формулата за квадратна равенка дава две решенија, едно кога ± е собирање, а друго кога е одземање.

$$4t^{2}-43t-11=0$$

Оваа равенка е во стандардна форма: ax^{2}+bx+c=0. Ставете 4 за a, -43 за b и -11 за c во формулата за квадратна равенка \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$t=\frac{-\left(-43\right)±\sqrt{\left(-43\right)^{2}-4\times 4\left(-11\right)}}{2\times 4}$$

Квадрат од -43.

$$t=\frac{-\left(-43\right)±\sqrt{1849-4\times 4\left(-11\right)}}{2\times 4}$$

Множење на -4 со 4.

$$t=\frac{-\left(-43\right)±\sqrt{1849-16\left(-11\right)}}{2\times 4}$$

Множење на -16 со -11.

$$t=\frac{-\left(-43\right)±\sqrt{1849+176}}{2\times 4}$$

Собирање на 1849 и 176.

$$t=\frac{-\left(-43\right)±\sqrt{2025}}{2\times 4}$$

Вадење квадратен корен од 2025.

$$t=\frac{-\left(-43\right)±45}{2\times 4}$$

Спротивно на -43 е 43.

$$t=\frac{43±45}{2\times 4}$$

Множење на 2 со 4.

$$t=\frac{43±45}{8}$$

Сега решете ја равенката t=\frac{43±45}{8} кога ± ќе биде плус. Собирање на 43 и 45.

$$t=\frac{88}{8}$$

Делење на 88 со 8.

$$t=11$$

Сега решете ја равенката t=\frac{43±45}{8} кога ± ќе биде минус. Одземање на 45 од 43.

$$t=-\frac{2}{8}$$

Намалете ја дропката \frac{-2}{8} до најниските услови со извлекување и откажување на 2.

$$t=-\frac{1}{4}$$

Равенката сега е решена.

$$t=11 t=-\frac{1}{4}$$

Чекори за пополнување на квадратот

Квадратните равенки како оваа може да се решат со пополнување на квадратот. За да го пополните, равенката прво мора да биде во формата x^{2}+bx=c.

$$4t^{2}-43t-11=0$$

Додавање на 11 на двете страни на равенката.

$$4t^{2}-43t-11-\left(-11\right)=-\left(-11\right)$$

Ако одземете -11 од истиот број, ќе остане 0.

$$4t^{2}-43t=-\left(-11\right)$$

Одземање на -11 од 0.

$$4t^{2}-43t=11$$

Поделете ги двете страни со 4.

$$\frac{4t^{2}-43t}{4}=\frac{11}{4}$$

Ако поделите со 4, ќе се врати множењето со 4.

$$t^{2}-\frac{43}{4}t=\frac{11}{4}$$

Поделете го -\frac{43}{4}, коефициентот на членот x, со 2 за да добиете -\frac{43}{8}. Потоа додајте го квадратот од -\frac{43}{8} на двете страни од равенката. Овој чекор ќе ја направи левата страна на равенката совршен квадрат.

$$t^{2}-\frac{43}{4}t+\left(-\frac{43}{8}\right)^{2}=\frac{11}{4}+\left(-\frac{43}{8}\right)^{2}$$

Кренете -\frac{43}{8} на квадрат со кревање и на броителот и на именителот на дропката на квадрат.

$$t^{2}-\frac{43}{4}t+\frac{1849}{64}=\frac{11}{4}+\frac{1849}{64}$$

Соберете ги \frac{11}{4} и \frac{1849}{64} со наоѓање на заедничкиот именител и собирање на броителите. Потоа намалете ја дропката на најмалите членови ако е можно.

$$t^{2}-\frac{43}{4}t+\frac{1849}{64}=\frac{2025}{64}$$

Фактор t^{2}-\frac{43}{4}t+\frac{1849}{64}. Генерално, кога x^{2}+bx+c е совршен квадрат, може секогаш да се факторира како \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(t-\frac{43}{8}\right)^{2}=\frac{2025}{64}$$

Извадете квадратен корен од двете страни на равенката.

$$\sqrt{\left(t-\frac{43}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{2025}{64}}$$

Поедноставување.

$$t-\frac{43}{8}=\frac{45}{8} t-\frac{43}{8}=-\frac{45}{8}$$

Додавање на \frac{43}{8} на двете страни на равенката.

$$t=11 t=-\frac{1}{4}$$