Решете 4n^2-7n=11

$$4 n ^ { 2 } - 7 n = 11$$

Реши за n

$$n=-1$$

$$n = \frac{11}{4} = 2\frac{3}{4} = 2,75$$

Чекори за употреба на факторирање со групирање

Одземете 11 од двете страни.

$$4n^{2}-7n-11=0$$

За да ја решите равенката, факторирајте ја левата страна со групирање. Прво, левата страна треба да се препише како 4n^{2}+an+bn-11. За да ги најдете a и b, поставете систем за решавање.

$$a+b=-7 ab=4\left(-11\right)=-44$$

Бидејќи ab е негативно, a и b имаат спротивни знаци. Бидејќи a+b е негативно, негативниот број има поголема апсолутна вредност од позитивниот. Наведете ги сите парови цели броеви што даваат производ -44.

$$1,-44 2,-22 4,-11$$

Пресметајте го збирот за секој пар.

$$1-44=-43 2-22=-20 4-11=-7$$

Решението е парот што дава збир -7.

$$a=-11 b=4$$

Препиши го 4n^{2}-7n-11 како \left(4n^{2}-11n\right)+\left(4n-11\right).

$$\left(4n^{2}-11n\right)+\left(4n-11\right)$$

Факторирај го n во 4n^{2}-11n.

$$n\left(4n-11\right)+4n-11$$

Факторирај го заедничкиот термин 4n-11 со помош на дистрибутивно својство.

$$\left(4n-11\right)\left(n+1\right)$$

За да најдете решенија за равенката, решете ги 4n-11=0 и n+1=0.

$$n=\frac{11}{4} n=-1$$

Чекори за користење на формулата за квадратна равенка

Сите равенки што ја имаат формата ax^{2}+bx+c=0 може да се решат со формулата за квадратна равенка: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Формулата за квадратна равенка дава две решенија, едно кога ± е собирање, а друго кога е одземање.

$$4n^{2}-7n=11$$

Одземање на 11 од двете страни на равенката.

$$4n^{2}-7n-11=11-11$$

Ако одземете 11 од истиот број, ќе остане 0.

$$4n^{2}-7n-11=0$$

Оваа равенка е во стандардна форма: ax^{2}+bx+c=0. Ставете 4 за a, -7 за b и -11 за c во формулата за квадратна равенка \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$n=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{\left(-7\right)^{2}-4\times 4\left(-11\right)}}{2\times 4}$$

Квадрат од -7.

$$n=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-4\times 4\left(-11\right)}}{2\times 4}$$

Множење на -4 со 4.

$$n=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-16\left(-11\right)}}{2\times 4}$$

Множење на -16 со -11.

$$n=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49+176}}{2\times 4}$$

Собирање на 49 и 176.

$$n=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{225}}{2\times 4}$$

Вадење квадратен корен од 225.

$$n=\frac{-\left(-7\right)±15}{2\times 4}$$

Спротивно на -7 е 7.

$$n=\frac{7±15}{2\times 4}$$

Множење на 2 со 4.

$$n=\frac{7±15}{8}$$

Сега решете ја равенката n=\frac{7±15}{8} кога ± ќе биде плус. Собирање на 7 и 15.

$$n=\frac{22}{8}$$

Намалете ја дропката \frac{22}{8} до најниските услови со извлекување и откажување на 2.

$$n=\frac{11}{4}$$

Сега решете ја равенката n=\frac{7±15}{8} кога ± ќе биде минус. Одземање на 15 од 7.

$$n=-\frac{8}{8}$$

Делење на -8 со 8.

$$n=-1$$

Равенката сега е решена.

$$n=\frac{11}{4} n=-1$$

Чекори за пополнување на квадратот

Квадратните равенки како оваа може да се решат со пополнување на квадратот. За да го пополните, равенката прво мора да биде во формата x^{2}+bx=c.

$$4n^{2}-7n=11$$

Поделете ги двете страни со 4.

$$\frac{4n^{2}-7n}{4}=\frac{11}{4}$$

Ако поделите со 4, ќе се врати множењето со 4.

$$n^{2}-\frac{7}{4}n=\frac{11}{4}$$

Поделете го -\frac{7}{4}, коефициентот на членот x, со 2 за да добиете -\frac{7}{8}. Потоа додајте го квадратот од -\frac{7}{8} на двете страни од равенката. Овој чекор ќе ја направи левата страна на равенката совршен квадрат.

$$n^{2}-\frac{7}{4}n+\left(-\frac{7}{8}\right)^{2}=\frac{11}{4}+\left(-\frac{7}{8}\right)^{2}$$

Кренете -\frac{7}{8} на квадрат со кревање и на броителот и на именителот на дропката на квадрат.

$$n^{2}-\frac{7}{4}n+\frac{49}{64}=\frac{11}{4}+\frac{49}{64}$$

Соберете ги \frac{11}{4} и \frac{49}{64} со наоѓање на заедничкиот именител и собирање на броителите. Потоа намалете ја дропката на најмалите членови ако е можно.

$$n^{2}-\frac{7}{4}n+\frac{49}{64}=\frac{225}{64}$$

Фактор n^{2}-\frac{7}{4}n+\frac{49}{64}. Генерално, кога x^{2}+bx+c е совршен квадрат, може секогаш да се факторира како \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(n-\frac{7}{8}\right)^{2}=\frac{225}{64}$$

Извадете квадратен корен од двете страни на равенката.

$$\sqrt{\left(n-\frac{7}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{225}{64}}$$

Поедноставување.

$$n-\frac{7}{8}=\frac{15}{8} n-\frac{7}{8}=-\frac{15}{8}$$

Додавање на \frac{7}{8} на двете страни на равенката.

$$n=\frac{11}{4} n=-1$$